Решить дифференциальное уравнение в частных производных

Данная задача относится к предмету "Дифференциальные уравнения в частных производных" и разделу "Уравнение колебаний струны". Здесь представлено граничное значение для уравнения колебаний.

Постановка задачи: Нам нужно решить задачу для уравнения колебаний струны вида \( u_{tt} - a^2 u_{xx} = 0 \), с начальными и граничными условиями: \[ \begin{cases} u|_{x=0} = 0, \quad u|_{x=l} = 0, \quad t \ge 0, \\ u|_{t=0} = 0, \quad u_t|_{t=0} = \sin\left(\frac{4\pi x}{l}\right), \quad 0 \le x \le l. \end{cases} \]

Шаг 1: Применение метода разделения переменных.

Предположим, что решение имеет вид \( u(x, t) = X(x)T(t) \). Подставим это в уравнение колебаний: \[ X(x)T''(t) - a^2 X''(x)T(t) = 0. \] Разделим обе стороны на \( a^2X(x)T(t) \): \[ \frac{T''(t)}{a^2 T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda. \] Таким образом, мы получили два обыкновенных дифференциальных уравнения: \[ \begin{cases} T''(t) + a^2\lambda T(t) = 0, \\ X''(x) + \lambda X(x) = 0. \end{cases} \]

Шаг 2: Решение уравнения для \( X(x) \).

Рассмотрим \( X''(x) + \lambda X(x) = 0 \) с граничными условиями \( X(0) = 0 \) и \( X(l) = 0 \). Для ненулевых решений: \[ X(x) = A \sin\left(\sqrt{\lambda} x\right). \] Из граничного условия \( X(l) = 0 \): \[ A \sin\left(\sqrt{\lambda} l\right) = 0. \] Таким образом, \( \sqrt{\lambda} l = n\pi \), где \( n \) - целое число. Тогда: \[ \lambda_n = \left( \frac{n\pi}{l} \right)^2. \] Решение для \( X(x) \): \[ X_n(x) = A_n \sin\left( \frac{n\pi x}{l} \right). \]

Шаг 3: Решение уравнения для \( T(t) \).

Рассмотрим дифференциальное уравнение: \[ T''(t) + a^2\lambda_n T(t) = 0. \] Подставим \( \lambda_n \): \[ T''(t) + a^2 \left( \frac{n\pi}{l} \right)^2 T(t) = 0. \] Общее решение данного уравнения имеет вид: \[ T_n(t) = B_n \cos\left( \frac{n\pi a t}{l} \right) + C_n \sin\left( \frac{n\pi a t}{l} \right). \] Таким образом, общее решение уравнения имеет вид: \[ u(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty} \left[ B_n \cos\left( \frac{n\pi a t}{l} \right) + C_n \sin\left( \frac{n\pi a t}{l} \right) \right] \sin\left( \frac{n\pi x}{l} \right). \]

Шаг 4: Учет начальных условий.

Начальное условие \( u(x, 0) = 0 \): \[ \sum_{n=1}^{\infty} B_n \sin\left( \frac{n\pi x}{l} \right) = 0. \] Отсюда следует \( B_n = 0 \). Для второго начального условия \( u_t(x, 0) = \sin\left( \frac{4\pi x}{l} \right) \): \[ \sum_{n=1}^{\infty} C_n \frac{n\pi a}{l} \sin\left( \frac{n\pi x}{l} \right) = \sin\left( \frac{4\pi x}{l} \right). \] Откуда видно, что \( C_n \) будет ненулевым только для \( n = 4 \). Тогда для \( n = 4 \): \[ C_4 \frac{4\pi a}{l} = 1 \Rightarrow C_4 = \frac{l}{4\pi a}. \] Тогда решение имеет вид: \[ u(x, t) = \frac{l}{4\pi a} \sin\left( \frac{4\pi x}{l} \right) \sin\left( \frac{4\pi a t}{l} \right). \] Это и есть наше итоговое решение.