Реши смешанную задачу использую замену u(x,t)= v(x,t)+w(x,t) и функцию w(x,t)

Этот вопрос относится к разделу математической физики и в частности к дифференциальным уравнениям в частных производных (ДУЧП). Вопрос включает решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности (или диффузии) со специфическими граничными условиями.

Шаг 1: Задание функции \( w(x, t) \)

Мы ищем функцию \( w(x, t) \), такую, чтобы для новой переменной \( v(x, t) = u(x, t) - w(x, t) \) оба граничных условия были равны нулю. Начнем с выбора \( w(x, t) \) которая удовлетворяет граничным условиям:

1. \( \frac{\partial w}{\partial x} \bigg|_{x=0} = -q \)
2. \( w \big|_{x=l} = 0 \)

Предположим, \( w(x, t) \) имеет вид: \[ w(x) = -qx + ql \]

Шаг 2: Проверка граничных условий для \( w(x) \)

Проверим:

1. \( \frac{\partial w}{\partial x} = -q \) \[ \frac{\partial w}{\partial x} \bigg|_{x=0} = -q \]
2. \( w(l) = -ql + ql = 0 \)

Таким образом, \( w(x) = -qx + ql \) удовлетворяет граничным условиям.

Шаг 3: Запись нового уравнения для \( v(x, t) \)

Обозначая \( u(x, t) = v(x, t) + w(x) \), где \( w(x) = -qx + ql \), перепишем уравнение: \[ u(x, t) = v(x, t) + q(l-x) \]

Теперь, при подстановке \( u(x, t) = v(x, t) + w(x) \) в основное уравнение: \[ \frac{\partial (v + w)}{\partial t} = a^2 \frac{\partial^2 (v + w)}{\partial x^2 } \]

Но, так как \( w(x) \) не зависит от времени \( t \), то: \[ \frac{\partial v}{\partial t} = a^2 \frac{\partial^2 v}{\partial x^2 } \]

Та же форма уравнения без \( w(x) \).

Шаг 4: Формулировка начальных и граничных условий для \( v(x, t) \)

Граничные условия для \( v(x, t) \):

1. \( \frac{\partial v}{\partial x} \bigg|_{x=0} = 0 \) (так как \( \frac{\partial w}{\partial x} = -q \))
2. \( v \big|_{x=l} = 0 \)

Начальное условие для \( v(x, t) \): - \( u(x, 0) = 0 \) дают \( v(x, 0) = -w(x) \), то есть \( v(x, 0) = -q(l-x) \)

Шаг 5: Решение уравнения для \( v(x, t) \)

Теперь решаем уравнение теплопроводности для \( v(x, t) \): \[ \begin{cases} \frac{\partial v}{\partial t} = a^2 \frac{\partial^2 v}{\partial x^2 }, & 0 < x < l, \ t > 0, \\ \frac{\partial v}{\partial x} \bigg|_{x=0} = 0, & \\ v \big|_{x=l} = 0, & \\ v(x, 0) = -q(l-x), & 0 \leq x \leq l \end{cases} \]

Используя метод разделения переменных, предположим: \[ v(x, t) = X(x)T(t) \]

Разделяя переменные и решая получившиеся обыкновенные дифференциальные уравнения мы можем получить выражения для \( X(x) \) и \( T(t) \). Полученное решение подставляем чтобы сформировать конечное решение задачи.

Шаг 6: Финальное решение

Комбинируя, мы получим \( v(x, t) \), и, зная \( w(x,t) \), можем получить \( u(x,t) = v(x,t) + w(x,t) \). Конечное уравнение решения: \[ u(x, t) = v(x, t) - qx + ql \]

Подробное решение метода разделения переменных и получения конечного решения потребует дополнительных шагов, что выходит за рамки данного объяснения.