Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности (диффузии) с однородными граничными условиями в прямоугольной области

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения (уравнение теплопроводности/диффузии)

Постановка задачи

Рассмотрим уравнение теплопроводности (диффузии) в прямоугольной области. Пусть прямоугольная область задается как [0 \leq x \leq L] и [0 \leq y \leq H]. Уравнение теплопроводности имеет вид:

 \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right), 

где:

• u(x, y, t) — температура в точке (x, y) в момент времени t,
• \alpha — коэффициент теплопроводности (диффузии).

Граничные условия являются однородными (например, температура на границах равна нулю):

 u(0, y, t) = u(L, y, t) = u(x, 0, t) = u(x, H, t) = 0. 

Начальное условие задается как:

 u(x, y, 0) = f(x, y), 

где f(x, y) — заданная функция начального распределения температуры.

Решение задачи методом разделения переменных

Для решения будем использовать метод разделения переменных. Предположим, что решение представимо в виде:

 u(x, y, t) = X(x)Y(y)T(t), 

где X(x), Y(y) и T(t) — функции, зависящие только от соответствующих переменных.

1. Подстановка в уравнение

Подставим u(x, y, t) = X(x)Y(y)T(t) в исходное уравнение теплопроводности:

 X(x)Y(y)\frac{dT}{dt} = \alpha \left( Y(y)T(t)\frac{d^2X}{dx^2} + X(x)T(t)\frac{d^2Y}{dy^2} \right). 

Разделим обе части на X(x)Y(y)T(t):

 \frac{1}{T(t)} \frac{dT}{dt} = \alpha \left( \frac{1}{X(x)} \frac{d^2X}{dx^2} + \frac{1}{Y(y)} \frac{d^2Y}{dy^2} \right). 

Так как левая часть зависит только от t, а правая — от x и y, приравняем обе части к постоянной -\lambda:

 \frac{1}{T(t)} \frac{dT}{dt} = -\lambda, \quad \frac{1}{X(x)} \frac{d^2X}{dx^2} + \frac{1}{Y(y)} \frac{d^2Y}{dy^2} = -\lambda. 

2. Разделение переменных для пространственных координат

Рассмотрим второе уравнение:

 \frac{1}{X(x)} \frac{d^2X}{dx^2} + \frac{1}{Y(y)} \frac{d^2Y}{dy^2} = -\lambda. 

Разделим его на две части, введя еще одну постоянную -\mu:

 \frac{1}{X(x)} \frac{d^2X}{dx^2} = -\mu, \quad \frac{1}{Y(y)} \frac{d^2Y}{dy^2} = -(\lambda - \mu). 

Теперь у нас есть два обыкновенных дифференциальных уравнения:

1. Для X(x):  \frac{d^2X}{dx^2} + \mu X = 0, 

2. Для Y(y):  \frac{d^2Y}{dy^2} + (\lambda - \mu) Y = 0. 

3. Решение уравнений для X(x) и Y(y)

Эти уравнения являются уравнениями Штурма-Лиувилля с граничными условиями:

 X(0) = X(L) = 0, \quad Y(0) = Y(H) = 0. 

Решения имеют вид:

 X(x) = \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right), \quad \mu = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2, 

 Y(y) = \sin\left(\frac{m\pi y}{H}\right), \quad \lambda - \mu = \left(\frac{m\pi}{H}\right)^2. 

Отсюда:

 \lambda = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 + \left(\frac{m\pi}{H}\right)^2. 

4. Решение для T(t)

Уравнение для T(t):

 \frac{dT}{dt} = -\lambda T \quad \Rightarrow \quad T(t) = e^{-\lambda t}. 

5. Общее решение

Общее решение представляется в виде ряда:

 u(x, y, t) = \sum_{n=1}^\infty \sum_{m=1}^\infty C_{nm} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \sin\left(\frac{m\pi y}{H}\right) e^{-\left[\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 + \left(\frac{m\pi}{H}\right)^2\right] t}. 

Коэффициенты C_{nm} определяются из начального условия:

 u(x, y, 0) = f(x, y) \quad \Rightarrow \quad C_{nm} = \frac{4}{LH} \int_0^L \int_0^H f(x, y) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \sin\left(\frac{m\pi y}{H}\right) dx \, dy. 

Итог

Мы получили решение задачи теплопроводности в прямоугольной области с однородными граничными условиями. Решение выражается через разложение в ряд Фурье, где коэффициенты определяются из начального распределения температуры.