Привести следующие уравнения с постоянными коэффициентами к каноническому виду, затем еще раз упростить

Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка с постоянными коэффициентами. Давайте приведём его к каноническому виду, а затем ещё раз упростим. Уравнение выглядит следующим образом: $\text{[}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{x}^2}+4\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }x\mathrm{\partial }y}+\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{y}^2}+5\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }x}+7\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }y}+u=0\text{]}$ Преобразуем его в каноническую форму. Для этого найдем дисперсионное уравнение, характеризующее данное дифференциальное уравнение. Пусть: $\text{[}u=e^{\lambda x+\mu y}\text{]}$ Применяя частные производные: $\text{[}\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }x}=\lambda e^{\lambda x+\mu y}\text{]}$ $\text{[}\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }y}=\mu e^{\lambda x+\mu y}\text{]}$ $\text{[}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{x}^2}={\lambda }^2{e}^{\lambda x+\mu y}\text{]}$ $\text{[}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }x\mathrm{\partial }y}=\lambda \mu e^{\lambda x+\mu y}\text{]}$ $\text{[}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{y}^2}={\mu }^2{e}^{\lambda x+\mu y}\text{]}$ Подставим эти выражения в уравнение: $\text{[}{\lambda }^2{e}^{\lambda x+\mu y}+4\lambda \mu e^{\lambda x+\mu y}+{\mu }^2{e}^{\lambda x+\mu y}+5\lambda e^{\lambda x+\mu y}+7\mu e^{\lambda x+\mu y}+e^{\lambda x+\mu y}=0\text{]}$ Вынесем $\text{(}{e}^{\lambda x+\mu y}\text{)}$ за скобки (так как оно не равно нулю): $\text{[}{\lambda }^2+4\lambda \mu +{\mu }^2+5\lambda +7\mu +1=0\text{]}$ Это и есть дисперсионное уравнение для нашего дифференциального уравнения. Теперь каноническая форма определяется классификацией этого уравнения второго порядка. Дискриминант этой квадратичной формы равен: $\text{[}D=B^2-4AC=4^2-4\cdot 1\cdot 1=16-4=12\text{]}$ Так как дискриминант положительный (12 > 0), то по классификации уравнение является гиперболическим. Для гиперболических уравнений каноническая форма: $\text{[}\frac{{\mathrm{\partial }}^2{u}^{\prime }}{\mathrm{\partial }\xi \mathrm{\partial }\eta }=0\text{]}$ где мы используем замену переменных. Введем новые переменные: $\text{[}\xi =x+y\text{и}\eta =x-y\text{]}$ Теперь это уравнение можно написать как: $\text{[}2\frac{{\mathrm{\partial }}^2{u}^{\prime }}{\mathrm{\partial }\xi \mathrm{\partial }\eta }=0\text{]}$ или $\text{[}\frac{{\mathrm{\partial }}^2{u}^{\prime }}{\mathrm{\partial }\xi \mathrm{\partial }\eta }=0\text{]}$ --- Далее, упростим уравнение еще раз. Мы можем написать уравнение в форме: $\text{[}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{x}^2}+4\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }x\mathrm{\partial }y}+\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{y}^2}+5\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }x}+7\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }y}+u=0\text{]}$ Сделаем прямую замену \( x \) и \( y \), чтобы упростить запись уравнения, но это все же останется видом гиперболического уравнения с конкретными начальными условиями, которые решаются методами, характерными для выбранного классического вида.