Привести следующие уравнения с постоянными коэффициентами к каноническому виду, затем еще раз упростить

Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка с постоянными коэффициентами. Давайте приведём его к каноническому виду, а затем ещё раз упростим. Уравнение выглядит следующим образом: \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 4 \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 5 \frac{\partial u}{\partial x} + 7 \frac{\partial u}{\partial y} + u = 0 \] Преобразуем его в каноническую форму. Для этого найдем дисперсионное уравнение, характеризующее данное дифференциальное уравнение. Пусть: \[ u = e^{\lambda x + \mu y} \] Применяя частные производные: \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \lambda e^{\lambda x + \mu y} \] \[ \frac{\partial u}{\partial y} = \mu e^{\lambda x + \mu y} \] \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \lambda^2 e^{\lambda x + \mu y} \] \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \lambda \mu e^{\lambda x + \mu y} \] \[ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \mu^2 e^{\lambda x + \mu y} \] Подставим эти выражения в уравнение: \[ \lambda^2 e^{\lambda x + \mu y} + 4 \lambda \mu e^{\lambda x + \mu y} + \mu^2 e^{\lambda x + \mu y} + 5 \lambda e^{\lambda x + \mu y} + 7 \mu e^{\lambda x + \mu y} + e^{\lambda x + \mu y} = 0 \] Вынесем \( e^{\lambda x + \mu y} \) за скобки (так как оно не равно нулю): \[ \lambda^2 + 4 \lambda \mu + \mu^2 + 5 \lambda + 7 \mu + 1 = 0 \] Это и есть дисперсионное уравнение для нашего дифференциального уравнения. Теперь каноническая форма определяется классификацией этого уравнения второго порядка. Дискриминант этой квадратичной формы равен: \[ D = B^2 - 4AC = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12 \] Так как дискриминант положительный (12 > 0), то по классификации уравнение является гиперболическим. Для гиперболических уравнений каноническая форма: \[ \frac{\partial^2 u'}{\partial \xi \partial \eta} = 0 \] где мы используем замену переменных. Введем новые переменные: \[ \xi = x + y \quad \text{и} \quad \eta = x - y \] Теперь это уравнение можно написать как: \[ 2 \frac{\partial^2 u'}{\partial \xi \partial \eta} = 0 \] или \[ \frac{\partial^2 u'}{\partial \xi \partial \eta} = 0 \] --- Далее, упростим уравнение еще раз. Мы можем написать уравнение в форме: \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 4 \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 5 \frac{\partial u}{\partial x} + 7 \frac{\partial u}{\partial y} + u = 0 \] Сделаем прямую замену \( x \) и \( y \), чтобы упростить запись уравнения, но это все же останется видом гиперболического уравнения с конкретными начальными условиями, которые решаются методами, характерными для выбранного классического вида.