Подробно объяснить почему надо использовать ряд Фурье

Задание относится к области дифференциальных уравнений с частными производными, в частности, к задаче о теплопроводности.

Постановка задачи:

Нам нужно решить смешанную задачу для уравнения теплопроводности:

Почему используется ряд Фурье:

1. Функция многих переменных: Уравнение и начальное условие зависят от переменной \(x\) и времени \(t\). Ряд Фурье позволяет разложить зависимость по пространственным переменным, что упрощает решение уравнения.
2. Граничные условия: Граничные условия указывают на использование косинусоидальных функций (условие на \(x=0\) и \(x=l\)). Это естественно для гармонического анализа и применения ряда Фурье.

Шаги решения:

1. Представим решение в виде ряда Фурье Пусть решение \(u(x, t)\) представимо в виде ряда Фурье: \[ u(x, t) = \sum_{n=0}^{\infty} (A_n \cos (\lambda_n x)) \phi_n(t), \] где \(\lambda_n = \frac{n \pi}{l}\).
2. Используем граничные условия Из граничных условий получаем: \[ u_x|_{x=0} = 0 \Rightarrow \sum_{n=0}^{\infty} (-\lambda_n A_n \sin (\lambda_n \cdot 0)) \phi_n(t) = 0,\quad \forall t. \] а это условие удовлетворяется естественно при всех \(\lambda_n\). Аналогично для \(x = l\): \[ u|_{x=l} = 0 \Rightarrow \sum_{n=0}^{\infty} A_n \cos (\lambda_n l) \phi_n(t) = 0,\quad \forall t. \] С этим условием проблем нет, так как \(\phi_n(t)\) будут подбирать такие \(A_n\), что ряд будет сходиться к 0 при \(x=l\).
3. Определяем начальные условия \[ u|_{t=0} = \cos \left(\frac{\pi x}{2 l}\right) + \cos \left(\frac{5 \pi x}{2 l}\right). \] Эти начальные условия приводят к тому, что: \[ u(x, 0) = \sum_{n=0}^{\infty} A_n \cos (\lambda_n x). \] Разложим: \[ \cos \left(\frac{\pi x}{2 l}\right) + \cos \left(\frac{5 \pi x}{2 l}\right) = \sum_{n=0}^{\infty} A_n \cos \left(\frac{n \pi x}{l}\right). \] Таким образом, \(A_{\frac{1}{2 l}\pi} = 1\) и \(A_{\frac{5}{2 l}\pi} = 1\).
4. Решим уравнение для временной части Подставим нашу разложение в исходное уравнение. Получим, что \(\phi_n(t)\) должны удовлетворять : \[ \phi'_n(t) = -a^2 \lambda_n^2 \phi_n(t). \] Это обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, для которого решение: \[ \phi_n(t) = C_n e^{-a^2 \lambda_n^2 t}. \]
5. Объединяем решение Таким образом, решение будет: \[ u(x, t)=\sum_{n=1}^{\infty} \left[1 \cos\left(\frac{n \pi x}{2l}\right) + 1\cos\left(\frac{5n \pi x}{2l}\right)\right] e^{-a^2 \left(\frac{n \pi}{2 l}\right)^2 t}. \] Полный ответ будет: \[ u(x, t)=\cos\left(\frac{\pi x}{2 l}\right)e^{-a^2 \left(\frac{\pi}{2 l}\right)^2 t} + \cos\left(\frac{5 \pi x}{2 l}\right)e^{-a^2 \left(\frac{5 \pi}{2 l}\right)^2 t}. \] Таким образом, мы получили частное решение через разложение в ряд Фурье.