Определить тип и привести к канонической форме дифферинциального уравнения

Это задание относится к разделу дифференциальных уравнений частных производных в курсе "Высшая математика". Уравнение имеет вид:

2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 6 \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + 5 \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y}

1. Определим тип дифференциального уравнения

Для этого необходимо написать его в общем виде:

A \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2B \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + C \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \text{члены с первыми производными и без производных} = 0

Распознаём коэффициенты уравнения:

A = 2, \quad 2B = 6 \Rightarrow B = 3, \quad C = 5

Дискриминант данного уравнения второго порядка определяется по формуле:

D = B^2 - AC

Подставляем имеющиеся значения:

D = 3^2 - 2 \cdot 5 = 9 - 10 = -1

Так как D < 0, уравнение является эллиптическим.

2. Приведем уравнение к канонической форме

Для этого необходимо устранить смешанный член \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}.

Сделаем замену переменных вида:

\xi = ax + by

\eta = cx + dy

Тогда смешанный производный член исчезнет, если выберем коэффициенты a, b, c, d так, чтобы выполнялось условие:

2Bc - (aC + cA) = 0 или ad - bc \neq 0.

Вот общие шаги:

• Найдем собственные значения для матрицы \begin{pmatrix} A & B \\ B & C \end{pmatrix}.
• В нашем случае матрица выглядит как \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}.
• Собственные значения \lambda_1 и \lambda_2 решения уравнения находятся как корни характеристического уравнения:

\det \begin{pmatrix} 2 - \lambda & 3 \\ 3 & 5 - \lambda \end{pmatrix} = 0

(2 - \lambda)(5 - \lambda) - (3 \cdot 3) = 0

\lambda^2 - 7\lambda + 1 = 0

Корни уравнения:

\lambda_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4}}{2}

\lambda_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{45}}{2}

\lambda_{1,2} = \frac{7 \pm 3\sqrt{5}}{2}

Теперь, при нахождении собственных векторов, координаты этих векторов будут использованы для замены переменных вида \xi и \eta.

Например, если \xi - направление соответственное \lambda_1, а \eta соответствует \lambda_2:

Так, уравнение в новых переменных не будет содержать смешанных производных и приведется к форме:

a\frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} + b\frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2}

где a и b зависят от собственных значений.

Таким образом, уравнение в новых переменных будет в канонической форме для эллиптического уравнения.