Определить тип и привести к канонической форме дифференциальные уравнения второго порядка

Для начала определим тип дифференциального уравнения второго порядка: $2\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{x}^2}-6\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }x\mathrm{\partial }y}+4\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{y}^2}=u-\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }x}.$ В общем случае, линейное дифференциальное уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными имеет вид: $A\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{x}^2}+B\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }x\mathrm{\partial }y}+C\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{y}^2}+\text{производные первого порядка и ненулевая часть, не содержащая производных}.$ Для определения типа уравнения второго порядка достаточно рассмотреть квадратную форму для высших производных: $A(\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{x}^2}{)}^2+2B\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }x\mathrm{\partial }y}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{x}^2}+C(\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{y}^2}{)}^2.$ В нашем уравнении: $A=2,B=-6,C=4.$ Теперь найдем дискриминант D (аналогично уравнению второй степени): $D=B^2-4AC=(-6{)}^2-4\cdot 2\cdot 4=36-32=4.$ Если $D>0$, уравнение является гиперболическим. Если $D=0$, уравнение является параболическим. Если $D<0$, уравнение является эллиптическим. Так как $D=4>0$, уравнение является гиперболическим. Теперь приведем уравнение к канонической форме. Это можно сделать с помощью поворота координат путем введения новых переменных $\xi$ и $\eta$: $\xi =x\cos (\theta )+y\sin (\theta ),$ $\eta =-x\sin (\theta )+y\cos (\theta ).$ Где угол $\theta$ определяется следующим образом: $\tan (2\theta )=\frac{B}{A-C}=\frac{-6}{2-4}=3.$ Рассмотрим угол $\theta$: $2\theta =\arctan (3),$ $\theta =\frac{1}{2}\arctan (3).$ Рассчитаем поворотную матрицу $M$: $M=\left[\begin{array}{cc}\cos (\theta )& \sin (\theta )\\ -\sin (\theta )& \cos (\theta )\end{array}\right].$ После преобразования и замены координат уравнение принимает каноническую форму: $\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{\xi }^2}-\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{\eta }^2}+\text{производные по первым переменным и частям, не содержащим производных}=0.$ Таким образом, наше заданное гиперболическое уравнение второго порядка в новой системе координат переходит в каноническую форму: $\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{\xi }^2}-\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{\eta }^2}=f(\xi ,\eta ,u,\mathrm{\partial }u/\mathrm{\partial }\xi ,\mathrm{\partial }u/\mathrm{\partial }\eta ).$