Определить тип и привести к канонической форме дифференциальные уравнения второго порядка

Для начала определим тип дифференциального уравнения второго порядка: 2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - 6 \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + 4 \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = u - \frac{\partial u}{\partial x}. В общем случае, линейное дифференциальное уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными имеет вид: A \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + B \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + C \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \text{производные первого порядка и ненулевая часть, не содержащая производных}. Для определения типа уравнения второго порядка достаточно рассмотреть квадратную форму для высших производных: A (\frac{\partial^2 u}{\partial x^2})^2 + 2B \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + C (\frac{\partial^2 u}{\partial y^2})^2. В нашем уравнении: A = 2, \quad B = -6, \quad C = 4. Теперь найдем дискриминант D (аналогично уравнению второй степени): D = B^2 - 4AC = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 36 - 32 = 4. Если D > 0, уравнение является гиперболическим. Если D = 0, уравнение является параболическим. Если D < 0, уравнение является эллиптическим. Так как D = 4 > 0, уравнение является гиперболическим. Теперь приведем уравнение к канонической форме. Это можно сделать с помощью поворота координат путем введения новых переменных \xi и \eta: \xi = x \cos(\theta) + y \sin(\theta), \eta = -x \sin(\theta) + y \cos(\theta). Где угол \theta определяется следующим образом: \tan(2\theta) = \frac{B}{A - C} = \frac{-6}{2 - 4} = 3. Рассмотрим угол \theta: 2\theta = \arctan(3), \theta = \frac{1}{2} \arctan(3). Рассчитаем поворотную матрицу M: M = \left[ \begin{array}{cc} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{array} \right]. После преобразования и замены координат уравнение принимает каноническую форму: \frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} - \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} + \text{производные по первым переменным и частям, не содержащим производных} = 0. Таким образом, наше заданное гиперболическое уравнение второго порядка в новой системе координат переходит в каноническую форму: \frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} - \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} = f(\xi, \eta, u, \partial u/\partial \xi, \partial u/\partial \eta).