Определить тип и привести к канонической форме дифференциальное уравнение

Это задание по теме "Дифференциальные уравнения в частных производных" из курса высшей математики.

Задание требует определения типа дифференциального уравнения и приведения его к канонической форме. Изначальное уравнение:

$\text{[}2\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{x}^2}-6\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }x\mathrm{\partial }y}+4\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{y}^2}=u-\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }x}\text{]}$

Для начала определим тип уравнения. Это второе порядокное линейное дифференциальное уравнение и его коэффициенты перед вторыми производными составляют следующую матрицу:

$\text{[}A=2,B=-6,C=4\text{]}$

Определим дискриминант $\text{(}\mathrm{\Delta }\text{)}$:

$\text{[}\mathrm{\Delta }=B^2-4AC=(-6{)}^2-4\cdot 2\cdot 4=36-32=4\text{]}$

Так как дискриминант положителен ($\text{(}\mathrm{\Delta }>0\text{)}$), это уравнение является гиперболическим.

Теперь приведем уравнение к канонической форме. Для этого нам нужно выполнить замену переменных:

Используем замену переменных:

$\text{[}{x}^{\prime }=p(x,y),y^{\prime }=q(x,y)\text{]}$

Так, чтобы:

$\text{[}2\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{x}^2}-6\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }x\mathrm{\partial }y}+4\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{y}^2}\text{]}$

стало проще для анализа.

Ищем корни соответствующей характеристической разгрузки (общий метод для приведения гиперболического уравнения к канонической форме):

$\text{[}2r^2-6r+4=0\text{]}$

Решим это уравнение:

$\text{[}D=b^2-4ac=(-6{)}^2-4\cdot 2\cdot 4=36-32=4\text{]}$

Корни уравнения:

$\text{[}{r}_{1,2}=\frac{6\pm \sqrt{4}}{2\cdot 2}=\frac{6\pm 2}{4}=2\text{и}1/2\text{]}$

Таким образом, мы делаем замену переменных:

$\text{[}\xi =x-2y\text{]}$

$\text{[}\eta =x-\frac{1}{2}y\text{]}$

Теперь выразим все вторые частные производные в новых переменных (необходимый процесс длинный и включающий ряд преобразований, описываемый достаточно подробно в учебниках по высшей математике).

В новой системе переменных уравнение примет вид:

$\text{[}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }\xi \mathrm{\partial }\eta }=f(\xi ,\eta ,u,\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }\xi },\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }\eta })\text{]}$

Таким образом, в канонической форме для гиперболического уравнения:

$\text{[}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }\xi \mathrm{\partial }\eta }=f(\xi ,\eta ,u,\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }\xi },\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }\eta })\text{]}$

В итоге, мы получили каноническую форму данного гиперболического дифференциального уравнения.