Обобщенные решения задачи Неймана.

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения, в частности — теория краевых задач для уравнений в частных производных (уравнение Лапласа, уравнение Пуассона и др.)

Обобщённые решения задачи Неймана

Классическая задача Неймана (или задача с граничным условием второго рода) формулируется следующим образом:

Пусть \Omega — ограниченная область в \mathbb{R}^n с гладкой границей \partial\Omega. Найти функцию u(x), такую что:

 \begin{cases} - \Delta u(x) = f(x), & x \in \Omega, \ \frac{\partial u}{\partial n}(x) = g(x), & x \in \partial\Omega, \end{cases} 

где:

• \Delta — оператор Лапласа,
• \frac{\partial u}{\partial n} — производная по внешней нормали к границе,
• f(x) и g(x) — заданные функции.

Обобщённое решение

В классическом смысле решение должно быть дважды непрерывно дифференцируемой функцией, но часто такие решения не существуют. Поэтому вводится понятие обобщённого (слабого) решения в пространстве Соболева.

Пространства Соболева

Пусть H^1(\Omega) — пространство Соболева первого порядка, состоящее из функций u, таких что u \in L^2(\Omega) и \nabla u \in (L^2(\Omega))^n.

Вариационная формулировка (обобщённая постановка)

Мы умножаем уравнение на тестовую функцию v \in H^1(\Omega) и интегрируем по области:

 \int_\Omega -\Delta u \cdot v \, dx = \int_\Omega f v \, dx 

Применим формулу Грина:

 \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \, dx - \int_{\partial\Omega} \frac{\partial u}{\partial n} v \, dS = \int_\Omega f v \, dx 

Подставим граничное условие \frac{\partial u}{\partial n} = g:

 \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \, dx = \int_\Omega f v \, dx + \int_{\partial\Omega} g v \, dS 

Обобщённым решением задачи Неймана называется функция u \in H^1(\Omega), такая что для любого v \in H^1(\Omega) выполняется:

 \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \, dx = \int_\Omega f v \, dx + \int_{\partial\Omega} g v \, dS 

Условия существования и единственности

Для существования обобщённого решения необходимо соблюдение условия согласованности:

 \int_\Omega f(x) \, dx + \int_{\partial\Omega} g(x) \, dS = 0 

Это условие вытекает из интегрирования уравнения по \Omega и применения формулы Грина.

Также решение определено с точностью до добавления константы, так как оператор Лапласа аннулирует константы, и производная по нормали от константы равна нулю.

Заключение

Обобщённое решение задачи Неймана — это функция из пространства H^1(\Omega), удовлетворяющая вариационной формулировке задачи. Такие решения применяются в задачах математической физики, например, в теории теплопроводности, электростатики и механике сплошных сред, когда классические решения не существуют.