Необходимо найти аналитическое решение уравнения теплопроводности с начальными и краевыми условиями, используя метод Фурье

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения, метод Фурье, уравнение теплопроводности (краевая задача)

Рассмотрим задачу 2.4. Необходимо найти аналитическое решение уравнения теплопроводности с начальными и краевыми условиями, используя метод Фурье.

? Условие задачи 2.4:

 \begin{cases} u_t' = 16 u_{xx}' \ u_x'(0, t) = u_x'(\pi, t) = 0, \ u(x, 0) = 3 + \cos x - 5 \cos 2x. \end{cases} 

? Шаг 1: Приведение уравнения к стандартному виду

Это классическое уравнение теплопроводности:

 \frac{\partial u}{\partial t} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, 

где a^2 = 16, т.е. a = 4.

? Шаг 2: Метод разделения переменных

Ищем решение в виде:

 u(x, t) = X(x) T(t) 

Подставим в уравнение:

 X(x) T'(t) = 16 X''(x) T(t) 

Разделим обе части на X(x) T(t):

 \frac{T'(t)}{16 T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda 

Получаем два ОДУ:

1. Для времени:  T'(t) + 16 \lambda T(t) = 0 

2. Для координаты:  X''(x) + \lambda X(x) = 0 

? Шаг 3: Краевые условия

 u_x'(0,t) = u_x'(\pi,t) = 0 \Rightarrow X'(0) = X'(\pi) = 0 

Это неоднородные краевые условия Неймана. Рассматриваем три случая: \lambda > 0, \lambda = 0, \lambda < 0.

✅ Случай 1: \lambda = 0

ОДУ: X''(x) = 0 \Rightarrow X(x) = A x + B

X'(x) = A → из условий: X'(0) = X'(\pi) = A = 0 → A = 0

Тогда X(x) = B — постоянное решение. Это допустимо.

✅ Случай 2: \lambda < 0

Пусть \lambda = -\mu^2, \mu > 0:

 X''(x) - \mu^2 X(x) = 0 \Rightarrow X(x) = A e^{\mu x} + B e^{-\mu x} 

 X'(x) = A \mu e^{\mu x} - B \mu e^{-\mu x} 

X'(0) = A \mu - B \mu = 0 \Rightarrow A = B

X'(\pi) = A \mu (e^{\mu \pi} - e^{-\mu \pi}) = 0
Но e^{\mu \pi} \ne e^{-\mu \pi} → противоречие.
Следовательно, нет нетривиальных решений.

✅ Случай 3: \lambda > 0

Пусть \lambda = \mu^2, \mu > 0:

 X''(x) + \mu^2 X(x) = 0 \Rightarrow X(x) = A \cos(\mu x) + B \sin(\mu x) 

X'(x) = -A \mu \sin(\mu x) + B \mu \cos(\mu x)

Из условий:

• X'(0) = B \mu = 0 \Rightarrow B = 0
• X'(\pi) = -A \mu \sin(\mu \pi) = 0

Чтобы не было тривиального решения A = 0, нужно \sin(\mu \pi) = 0
⇒ \mu = n, где n \in \mathbb{N}

Тогда:

 \lambda_n = n^2, \quad X_n(x) = \cos(n x), \quad T_n(t) = e^{-16 n^2 t} 

? Шаг 4: Общее решение

Собираем общее решение:

 u(x,t) = A_0 + \sum_{n=1}^{\infty} A_n \cos(n x) e^{-16 n^2 t} 

? Шаг 5: Найдём коэффициенты Фурье

Начальное условие:

 u(x,0) = 3 + \cos x - 5 \cos 2x 

Сравниваем с рядом:

 u(x,0) = A_0 + \sum_{n=1}^{\infty} A_n \cos(n x) 

⇒ Коэффициенты:

• A_0 = 3
• A_1 = 1
• A_2 = -5
• Остальные A_n = 0

✅ Ответ (аналитическое решение):

 u(x,t) = 3 + \cos x \cdot e^{-16 t} - 5 \cos(2x) \cdot e^{-64 t} 

? Шаг 6: Проверка подстановкой

Найдём производные:

• u_t = -16 \cos x \cdot e^{-16 t} + 320 \cos 2x \cdot e^{-64 t}
• u_{xx} = -\cos x \cdot e^{-16 t} + 4 \cdot 5 \cos 2x \cdot e^{-64 t} = -\cos x \cdot e^{-16 t} + 20 \cos 2x \cdot e^{-64 t}

Теперь умножим u_{xx} на 16:

 16 u_{xx} = -16 \cos x \cdot e^{-16 t} + 320 \cos 2x \cdot e^{-64 t} = u_t 

Уравнение выполнено ✅

✅ Итог:

Аналитическое решение задачи 2.4:

 \boxed{ u(x,t) = 3 + \cos x \cdot e^{-16 t} - 5 \cos(2x) \cdot e^{-64 t} } 

Задача решена полностью, с учётом всех трёх случаев для \lambda и проверкой.