Найти решение однородного волнового уравнения при заданных начальных условиях

Задание относится к курсу математической физики, а конкретнее к разделу, изучающему волновое уравнение и распространение волн в механических системах, таких как струны.

1. Найти решение однородного волнового уравнения при заданных начальных условиях:

Дано однородное волновое уравнение: \[ u_{tt} = c^2 u_{xx} \], где \(c\) — скорость распространения волн.

Начальные условия: \[ u(x, 0) = 0, \quad u_t(x, 0) = 2x^2 \]

Общее решение волнового уравнения.

Решение однородного волнового уравнения записывается как сумма двух функций, зависящих от \(x - ct\) и \(x + ct\):

\[ u(x,t) = f(x - ct) + g(x + ct) \]

где \(f(x - ct)\) и \(g(x + ct)\) — произвольные функции, определяемые из начальных условий.

Первое начальное условие (заданный профиль струны):

\[ u(x, 0) = 0 \]

Подставляем это условие в общее решение: \[ f(x) + g(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad f(x) = -g(x) \]

Теперь решение принимает вид: \[ u(x, t) = f(x - ct) - f(x + ct) \]

Второе начальное условие (начальная скорость):

\[ u_t(x, 0) = 2x^2 \]

Возьмем производную общего решения по времени \(t\):

\[ u_t(x, t) = -cf'(x - ct) - cf'(x + ct) \]

Подставим \(t = 0\):

\[ u_t(x, 0) = -cf'(x) - cf'(x) = -2cf'(x) = 2x^2 \]

Находим \(f'(x)\): \[ f'(x) = -\frac{x^2}{c} \]

Интегрируем это выражение: \[ f(x) = -\frac{x^3}{3c} + C \]

Таким образом, решение имеет вид: \[ u(x, t) = \left(-\frac{(x - ct)^3}{3c} + C\right) - \left(-\frac{(x + ct)^3}{3c} + C\right) \]

\[ u(x, t) = \frac{(x + ct)^3 - (x - ct)^3}{3c} \]

Раскроем скобки:

\[ u(x, t) = \frac{(x^3 + 3x^2ct + 3xc^2t^2 + c^3t^3) - (x^3 - 3x^2ct + 3xc^2t^2 - c^3t^3)}{3c} \]

\[ u(x, t) = \frac{6x^2ct}{3c} = 2x^2t \]

Таким образом, решение волнового уравнения при заданных начальных условиях:

\[ u(x, t) = 2x^2t \]

2. Определить отклонение точек струны.

Струна натянута между точками \(x=0\) и \(x=4\), оттянута на небольшое расстояние \(h\) и отпускается без начальной скорости.

Это классический случай задачи Коши для однородной струны, где начальные условия:

• Профиль струны: \(u(x, 0) = h\sin\left(\frac{\pi x}{4}\right)\)
• Скорость при \(t = 0\) равна нулю: \(u_t(x, 0) = 0\)

Решение задачи волнового уравнения с такими начальными и краевыми условиями имеет вид:

\[ u(x, t) = h\sin\left(\frac{\pi x}{4}\right)\cos\left(\frac{\pi ct}{4}\right) \]

где \(\frac{\pi}{4}\) — соответствующий волновой вектор, а \(c\) — скорость волны.

Таким образом, отклонение точек струны в любой момент времени \(t\) и в любом положении \(x\) задается выражением:

\[ u(x, t) = h\sin\left(\frac{\pi x}{4}\right)\cos\left(\frac{\pi ct}{4}\right) \]

3. Определить форму струны, удовлетворяющую начальному условию \(u(x,0) = x + l\).

Начальные условия:

\[ u(x, 0) = x + l, \quad u_t(x, 0) = 0 \]

Это также классическая задача. Общее решение записывается как сумма волнового пакета:

\[ u(x, t) = f(x - ct) + f(x + ct) \]

По аналогии с предыдущими задачами, функция \(f(x)\) зависит от начального условия профиля струны. Рассмотрим начальное условие:

\[ u(x, 0) = f(x) + g(x) = x + l \]

Поскольку скорость начально равна нулю, \(u_t(x, 0) = 0\), это дает нам симметричность функций: \[ f'(x) = -g'(x) \]

Следовательно, \(f(x) = g(x)\). Тогда решение имеет вид:

\[ u(x, t) = f(x - ct) + f(x + ct) \]

Из условия \(u(x, 0) = x + l\), можем выбрать \(f(x) = \frac{x + l}{2}\), таким образом, получаем:

\[ u(x, t) = \frac{(x - ct) + l}{2} + \frac{(x + ct) + l}{2} \]

Таким образом, форма струны не меняется со временем, и функция \(u(x, t)\) остается постоянной:

Резюме по результатам решения:

1. \(u(x, t) = 2x^2t\)
2. \(u(x, t) = h\sin\left(\frac{\pi x}{4}\right)\cos\left(\frac{\pi ct}{4}\right)\)
3. \(u(x, t) = x + l\)

\[ u(x, t) = x + l \]