Найти решение однородного волнового уравнения при заданных начальных условиях

Задание относится к курсу математической физики, а конкретнее к разделу, изучающему волновое уравнение и распространение волн в механических системах, таких как струны.

1. Найти решение однородного волнового уравнения при заданных начальных условиях:

Дано однородное волновое уравнение: $\text{[}{u}_{tt}=c^2{u}_{xx}\text{]}$, где $\text{(}c\text{)}$ — скорость распространения волн.

Начальные условия: $\text{[}u(x,0)=0,u_t(x,0)=2x^2\text{]}$

Общее решение волнового уравнения.

Решение однородного волнового уравнения записывается как сумма двух функций, зависящих от $\text{(}x-ct\text{)}$ и $\text{(}x+ct\text{)}$:

$\text{[}u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct)\text{]}$

где $\text{(}f(x-ct)\text{)}$ и $\text{(}g(x+ct)\text{)}$ — произвольные функции, определяемые из начальных условий.

Первое начальное условие (заданный профиль струны):

$\text{[}u(x,0)=0\text{]}$

Подставляем это условие в общее решение: $\text{[}f(x)+g(x)=0\Rightarrow f(x)=-g(x)\text{]}$

Теперь решение принимает вид: $\text{[}u(x,t)=f(x-ct)-f(x+ct)\text{]}$

Второе начальное условие (начальная скорость):

$\text{[}{u}_t(x,0)=2x^2\text{]}$

Возьмем производную общего решения по времени $\text{(}t\text{)}$:

$\text{[}{u}_t(x,t)=-c{f}^{\prime }(x-ct)-c{f}^{\prime }(x+ct)\text{]}$

Подставим $\text{(}t=0\text{)}$:

$\text{[}{u}_t(x,0)=-c{f}^{\prime }(x)-c{f}^{\prime }(x)=-2c{f}^{\prime }(x)=2x^2\text{]}$

Находим $\text{(}{f}^{\prime }(x)\text{)}:$ $\text{[}{f}^{\prime }(x)=-\frac{x^2}{c}\text{]}$

Интегрируем это выражение: $\text{[}f(x)=-\frac{x^3}{3c}+C\text{]}$

Таким образом, решение имеет вид: $\text{[}u(x,t)=(-\frac{(x-ct{)}^3}{3c}+C)-(-\frac{(x+ct{)}^3}{3c}+C)\text{]}$

$\text{[}u(x,t)=\frac{(x+ct{)}^3-(x-ct{)}^3}{3c}\text{]}$

Раскроем скобки:

$\text{[}u(x,t)=\frac{(x^3+3x^{2}ct+3x{c}^2{t}^2+c^3{t}^3)-(x^3-3x^{2}ct+3x{c}^2{t}^2-c^3{t}^3)}{3c}\text{]}$

$\text{[}u(x,t)=\frac{6x^{2}ct}{3c}=2x^{2}t\text{]}$

Таким образом, решение волнового уравнения при заданных начальных условиях:

$\text{[}u(x,t)=2x^{2}t\text{]}$

2. Определить отклонение точек струны.

Струна натянута между точками $\text{(}x=0\text{)}$ и $\text{(}x=4\text{)}$, оттянута на небольшое расстояние $\text{(}h\text{)}$ и отпускается без начальной скорости.

Это классический случай задачи Коши для однородной струны, где начальные условия:

• Профиль струны: $\text{(}u(x,0)=h\sin \left(\frac{\pi x}{4}\right)\text{)}$
• Скорость при $\text{(}t=0\text{)}$ равна нулю: $\text{(}{u}_t(x,0)=0\text{)}$

Решение задачи волнового уравнения с такими начальными и краевыми условиями имеет вид:

$\text{[}u(x,t)=h\sin \left(\frac{\pi x}{4}\right)\cos \left(\frac{\pi ct}{4}\right)\text{]}$

где $\text{(}\frac{\pi }{4}\text{)}$ — соответствующий волновой вектор, а $\text{(}c\text{)}$ — скорость волны.

Таким образом, отклонение точек струны в любой момент времени $\text{(}t\text{)}$ и в любом положении $\text{(}x\text{)}$ задается выражением:

$\text{[}u(x,t)=h\sin \left(\frac{\pi x}{4}\right)\cos \left(\frac{\pi ct}{4}\right)\text{]}$

3. Определить форму струны, удовлетворяющую начальному условию $\text{(}u(x,0)=x+l\text{)}.$

Начальные условия:

$\text{[}u(x,0)=x+l,u_t(x,0)=0\text{]}$

Это также классическая задача. Общее решение записывается как сумма волнового пакета:

$\text{[}u(x,t)=f(x-ct)+f(x+ct)\text{]}$

По аналогии с предыдущими задачами, функция $\text{(}f(x)\text{)}$ зависит от начального условия профиля струны. Рассмотрим начальное условие:

$\text{[}u(x,0)=f(x)+g(x)=x+l\text{]}$

Поскольку скорость начально равна нулю, $\text{(}{u}_t(x,0)=0\text{)}$, это дает нам симметричность функций: $\text{[}{f}^{\prime }(x)=-g^{\prime }(x)\text{]}$

Следовательно, $\text{(}f(x)=g(x)\text{)}.$ Тогда решение имеет вид:

$\text{[}u(x,t)=f(x-ct)+f(x+ct)\text{]}$

Из условия $\text{(}u(x,0)=x+l\text{)}$, можем выбрать $\text{(}f(x)=\frac{x+l}{2}\text{)}$, таким образом, получаем:

$\text{[}u(x,t)=\frac{(x-ct)+l}{2}+\frac{(x+ct)+l}{2}\text{]}$

Таким образом, форма струны не меняется со временем, и функция $\text{(}u(x,t)\text{)}$ остается постоянной:

Резюме по результатам решения:

1. $\text{(}u(x,t)=2x^{2}t\text{)}$
2. $\text{(}u(x,t)=h\sin \left(\frac{\pi x}{4}\right)\cos \left(\frac{\pi ct}{4}\right)\text{)}$
3. $\text{(}u(x,t)=x+l\text{)}$

$\text{[}u(x,t)=x+l\text{]}$