Найти решение однородного волнового уравнения для бесконечной струны, если известно, что начальные условия имеют вид

Этот вопрос относится к предмету "Математический анализ" или "Дифференциальные уравнения". Раздел предмета — "Частные дифференциальные уравнения" (ЧДУ).

Волновое уравнение для функции \( u(x, t) \) имеет вид: \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \] где \( c \) — это скорость волны. В данном случае мы рассматриваем бесконечную струну, так что уравнение справедливо на всей числовой оси. Начальные условия: \[ u(x,0) = x, \] \[ \left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_{t=0} = 2. \] Для решения воспользуемся методом разделения переменных и формулой Даламбера.

Шаг 1: Применим формулу Даламбера для решения волнового уравнения

Общее решение волнового уравнения в одной пространственной переменной и времени имеет вид: \[ u(x, t) = \frac{1}{2}\left[ f(x + ct) + f(x - ct) \right] + \frac{1}{2c} \int_{x - ct}^{x + ct} g(s) ds. \] где \( f(x) \) и \( g(x) \) — это начальные условия, которые нам даны: \[ f(x) = u(x,0) = x, \] \[ g(x) = \left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_{t=0} = 2. \]

Шаг 2: Подставляем начальные условия в общее решение

1. Выражаем \( f(x + ct) \) и \( f(x - ct) \): \[ f(x + ct) = x + ct, \] \[ f(x - ct) = x - ct. \]

2. Вычисляем интеграл: \[ \frac{1}{2c} \int_{x-ct}^{x+ct} g(s) \, ds = \frac{1}{2c} \int_{x-ct}^{x+ct} 2 \, ds = \frac{1}{2c} \cdot 2 \cdot (x + ct - (x - ct)) = \frac{1}{2c} \cdot 2 \cdot 2ct = 2t. \]

Таким образом, решение уравнения принимает вид: \[ u(x, t) = \frac{1}{2}\left[ (x + ct) + (x - ct) \right] + 2t = \frac{1}{2} (2x) + 2t = x + 2t. \]

Ответ

Решение однородного волнового уравнения для бесконечной струны с указанными начальными условиями: \[ u(x, t) = x + 2t. \]