Найти решение однородного волнового уравнения для бесконечной струны

Это задание относится к предмету "Дифференциальные уравнения" и подразделу "Волновые уравнения".

Рассмотрим однородное волновое уравнение для бесконечной струны: \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \] с начальными условиями: \[ u(x, 0) = x^2 \] \[ \frac{\partial u}{\partial t} (x, 0) = \cos x \] Для решения этого уравнения используем метод разделения переменных и метод Д’Аламбера.

Шаг 1: Общее решение волнового уравнения

Общее решение однородного волнового уравнения для бесконечной струны выглядит следующим образом: \[ u(x, t) = f(x - ct) + g(x + ct) \] где \(f\) и \(g\) - неизвестные функции, которые определяются начальными условиями.

Шаг 2: Учет начальных условий

Начальное условие 1: \( u(x, 0) = x^2 \)

При \( t = 0 \), у нас получится: \[ u(x, 0) = f(x) + g(x) = x^2 \] Отсюда \( f(x) + g(x) = x^2 \) \(\quad (1)\)

Начальное условие 2: \( \frac{\partial u}{\partial t} (x, 0) = \cos x \)

Вычислим производную \( u(x, t) \) по \( t \): \[ \frac{\partial u}{\partial t} = f'(x - ct) \cdot (-c) + g'(x + ct) \cdot c \] При \( t = 0 \), у нас: \[ \frac{\partial u}{\partial t} (x, 0) = -c f'(x) + c g'(x) = \cos x \] Рассмотрим \(\frac{1}{c}\): \[ -f'(x) + g'(x) = \frac{\cos x}{c} \quad \quad (2) \]

Шаг 3: Решение системы уравнений

Теперь у нас две системы уравнений:

1. \( f(x) + g(x) = x^2 \)
2. \( -f'(x) + g'(x) = \frac{\cos x}{c} \)

Для упрощения, применяем дифференцирование к первому уравнению: \[ f'(x) + g'(x) = 2x \] Объединяя \( f'(x) + g'(x) = 2x \) и \(-f'(x) + g'(x) = \frac{\cos x}{c} \): Сложим эти два уравнения:

\[ 2g'(x) = 2x + \frac{\cos x}{c} \]
\[ g'(x) = x + \frac{\cos x}{2c} \]
Интегрируем \( g'(x) \): \[ g(x) = \int (x + \frac{\cos x}{2c}) \, dx \]
\[ g(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{\sin x}{2c} + C_g \]

Теперь найдем \( f(x) \) из \( f'(x) + g'(x) = 2x \): \[ f'(x) = 2x - g'(x) \]
\[ f'(x) = 2x - (x + \frac{\cos x}{2c}) \]
\[ f'(x) = x - \frac{\cos x}{2c} \]
Интегрируем \( f'(x) \): \[ f(x) = \int (x - \frac{\cos x}{2c}) \, dx \]
\[ f(x) = \frac{x^2}{2} - \frac{\sin x}{2c} + C_f \]

Теперь вернемся к \( f(x) + g(x) = x^2 \). Подставляем: \[ \left( \frac{x^2}{2} - \frac{\sin x}{2c} + C_f \right) + \left( \frac{x^2}{2} + \frac{\sin x}{2c} + C_g \right) = x^2 \] \[ x^2 + (C_f + C_g) = x^2 \] Отсюда \( C_f + C_g = 0 \), то есть \( C_f = -C_g \). Подставляем \( C_f = C \) и \( C_g = -C \): \[ f(x) = \frac{x^2}{2} - \frac{\sin x}{2c} + C \]
\[ g(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{\sin x}{2c} - C \]

Шаг 4: Финальное решение

Общее решение: \[ u(x, t) = f(x - ct) + g(x + ct) \] Подставляем \(f\) и \(g\): \[ u(x, t) = \left( \frac{(x-ct)^2}{2} - \frac{\sin (x-ct)}{2c} + C \right) + \left( \frac{(x+ct)^2}{2} + \frac{\sin (x+ct)}{2c} - C \right) \] У нас \( C \) уходит: \[ u(x, t) = \frac{(x-ct)^2}{2} + \frac{(x+ct)^2}{2} - \frac{\sin (x-ct)}{2c} + \frac{\sin (x+ct)}{2c} \] Приведем к более удобному виду: \[ u(x, t) = \frac{x^2 - 2xct + c^2t^2 + x^2 + 2xct + c^2t^2}{2} - \frac{\sin(x-ct) - \sin(x+ct)}{2c} \]

\[ u(x, t) = x^2 + c^2t^2 - \frac{\sin(x-ct) - \sin(x+ct)}{2c} \] Используем формулу для разности синусов: \[ \sin A - \sin B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) \] Тогда у нас: \[ \sin(x-ct) - \sin(x+ct) = 2 \cos(x) \sin(-ct) = -2 \cos(x) \sin(ct) \] Подставляем это в уравнение: \[ u(x, t) = x^2 + c^2t^2 + \frac{\cos(x) \sin(ct)}{c} \]

Итак, решение однородного волнового уравнения для бесконечной струны с начальными условиями \( u(x, 0) = x^2 \) и \( \frac{\partial u}{\partial t} (x, 0) = \cos x \): \[ u(x, t) = x^2 + c^2t^2 + \frac{\cos(x) \sin(ct)}{c} \]