Найти оригинал преобразования Лапласа

Этот вопрос относится к предмету математического анализа, а именно к разделу преобразования Лапласа.

Найдём оригинал функции \( F(p) = \frac{1}{(p^2 + 4)^2} \) через обратное преобразование Лапласа. Для этого используем соответствие из таблиц преобразований Лапласа: \[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{(p^2 + a^2)^n} \right\} = \frac{t^{n-1}}{(n-1)!} \sin(at) \]

В нашем случае \( a = 2 \) и \( n = 2 \). Подставим \( a \) и \( n \): \[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{(p^2 + 4)^2} \right\} = \frac{t^{2-1}}{(2-1)!} \sin(2t) \]

Упростим выражение: \[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{(p^2 + 4)^2} \right\} = \frac{t^1}{1!} \sin(2t) \] \[ = t \sin(2t) \]

Таким образом, оригинал функции \( F(p) = \frac{1}{(p^2 + 4)^2} \) через обратное преобразование Лапласа будет: \[ f(t) = t \sin(2t) \]