Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Найти изображение функции
Условие:
Найти изображение функции
Решение:
Предмет: Математика
Раздел: Теория функций и преобразования Лапласа
Нам нужно найти изображение \( F(p) \) функции \( f(t) = t e^{-6t} \sinh(4t) \) с помощью преобразования Лапласа. Преобразование Лапласа \( \mathcal{L}\{f(t)\}(p) \) для функции \( f(t) \) определяется как:
\[ \mathcal{L}\{f(t)\}(p) = \int_0^\infty f(t) e^{-pt} \, dt \]Воспользуемся таблицей преобразований Лапласа и линейностью данного преобразования. Если \( f(t) = t e^{-6t} \sinh(4t) \), то:
- Применим линейность преобразования Лапласа: \( \sinh(4t) = \frac{e^{4t} - e^{-4t}}{2} \) Следовательно, исходная функция может быть записана как: \( f(t) = t e^{-6t} \cdot \frac{e^{4t} - e^{-4t}}{2} \)
- Упростим выражение: \( f(t) = \frac{t}{2} \left( e^{-2t} - e^{-10t} \right) \) Теперь найдем преобразование Лапласа для каждого из слагаемых:
Для \( t e^{-at} \), преобразование Лапласа определяется как:
\[ \mathcal{L}\{t e^{-at}\}(p) = \frac{1}{(p + a)^2} \]Применим это к нашему выражению:
\[ \mathcal{L}\left\{\frac{t}{2} e^{-2t}\right\}(p) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(p + 2)^2} \] \[ \mathcal{L}\left\{\frac{t}{2} e^{-10t}\right\}(p) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(p + 10)^2} \]- Используем линейность преобразования Лапласа:
- Собираем всё вместе:
Таким образом, изображение функции \( f(t) = t e^{-6t} \sinh(4t) \) является:
\[ F(p) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(p + 2)^2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(p + 10)^2} \]Это и есть результат преобразования Лапласа для данной функции.
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку