Найти циркуляцию векторного поля по контуру треугольника образованного пересечением плоскости

Определение предмета и раздела

Выданное задание относится к математике, в частности к разделу математической физики и векторного анализа. Проблема, с которой мы имеем дело, связана с понятием циркуляции векторного поля по замкнутому контуру.

Шаг 1. Характеризация контура

Зададимся треугольником, образованным пересечением плоскости \( P: 3x + 3y + z = 3 \) с координатными плоскостями \( x = 0 \), \( y = 0 \), и \( z = 0 \). Этот треугольник — это граница области, над которой мы вычисляем циркуляцию.

Чтобы найти точки пересечения, подставим по очереди в плоскость условия координатных плоскостей.

1. Точка пересечения с осью \( X \): Подставим \( y = 0 \) и \( z = 0 \) в уравнение плоскости: \[ 3x + 3(0) + 0 = 3 \implies x = 1. \] Точка пересечения: \( (1, 0, 0) \).
2. Точка пересечения с осью \( Y \): Подставим \( x = 0 \) и \( z = 0 \): \[ 3(0) + 3y + 0 = 3 \implies y = 1. \] Точка пересечения: \( (0, 1, 0) \).
3. Точка пересечения с осью \( Z \): Подставим \( x = 0 \) и \( y = 0 \): \[ 3(0) + 3(0) + z = 3 \implies z = 3. \] Точка пересечения: \( (0, 0, 3) \).

Треугольник ограничен точками \( (1, 0, 0) \), \( (0, 1, 0) \), и \( (0, 0, 3) \).

Шаг 2. Градиентная теорема и циркуляция

Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру определяется как:

\[ \oint_{\partial S} \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r}, \]

где \( \mathbf{a} = x \hat{i} + (x + z) \hat{j} + (y + z) \hat{k} \) — заданное векторное поле, и \( d \mathbf{r} \) — это дифференциал элементарного вектора вдоль контура.

Однако при сложных контурах, таких как данный треугольник, целесообразно воспользоваться теоремой Стокса для упрощения интегрирования. По теореме Стокса циркуляцию можно выразить через поток ротора векторного поля через поверхность, ограниченную контуром:

\[ \oint_{\partial S} \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S \nabla \times \mathbf{a} \cdot d\mathbf{S}, \]

где \( \nabla \times \mathbf{a} \) — это ротор векторного поля, а \( d\mathbf{S} \) — элемент поверхности.

Шаг 3. Нахождение ротора

Ротор векторного поля \( \mathbf{a} \) — это:

\[ \nabla \times \mathbf{a} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ x & x+z & y+z \end{vmatrix}. \]

Вычислим этот определитель по стандартной формуле развёртки через первый ряд:

\[ \nabla \times \mathbf{a} = \hat{i} \left( \frac{\partial (y + z)}{\partial y} - \frac{\partial (x + z)}{\partial z} \right) - \hat{j} \left( \frac{\partial (y + z)}{\partial x} - \frac{\partial x}{\partial z} \right) + \hat{k} \left( \frac{\partial (x + z)}{\partial x} - \frac{\partial x}{\partial y} \right). \]

Выполняем дифференцирование:

• Для компоненты \( \hat{i} \): \( \frac{\partial (y + z)}{\partial y} = 1 \), \( \frac{\partial (x + z)}{\partial z} = 1 \); итак, \( \hat{i} \left( 1 - 1 \right) = 0 \).
• Для компоненты \( \hat{j} \): \( \frac{\partial (y + z)}{\partial x} = 0 \), \( \frac{\partial x}{\partial z} = 0 \); итак, \( \hat{j} \left( 0 - 0 \right) = 0 \).
• Для компоненты \( \hat{k} \): \( \frac{\partial (x + z)}{\partial x} = 1 \), \( \frac{\partial x}{\partial y} = 0 \); итак, \( \hat{k} \left( 1 - 0 \right) = \hat{k} \).

Таким образом, ротор векторного поля:

\[ \nabla \times \mathbf{a} = \hat{k}. \]

Шаг 4. Вычисление потока через поверхность

Теперь вычислим поток \( \nabla \times \mathbf{a} \) через поверхность треугольника. Так как ротор имеет только компоненту \( k \)-осевую (\( \hat{k} \)), нас интересует поток через треугольник в плоскости \( P: 3x + 3y + z = 3 \).

Элемент площади \( dS \) для треугольной поверхности можно выразить через нормаль к плоскости.

Нормальный вектор к плоскости \( P \) равен \( \mathbf{n} = \nabla (3x + 3y + z - 3) = (3, 3, 1) \).

Модуль нормали:

\[ |\mathbf{n}| = \sqrt{3^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{19}. \]

Элемент площади:

\[ dS = \frac{1}{|\mathbf{n}|} \, dx \, dy = \frac{1}{\sqrt{19}} \, dx \, dy. \]

Теперь вычислим интеграл потока \( \hat{k} \cdot \mathbf{n} \) через проекцию треугольника. Поскольку \(\hat{k}\) имеет компоненту только по оси \( z \), нас интересует третья компонента нормали:

\[ \hat{k} \cdot \mathbf{n} = 1. \]

Шаг 5. Площадь треугольника

Найдем площадь треугольника с вершинами \( (1, 0, 0) \), \( (0, 1, 0) \) и \( (0, 0, 3) \) по известной формуле для площади треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \left| \mathbf{AB} \times \mathbf{AC} \right|. \]

Векторы \( \mathbf{AB} \) и \( \mathbf{AC} \):

\[ \mathbf{AB} = (0 - 1, 1 - 0, 0 - 0) = (-1, 1, 0), \]

\[ \mathbf{AC} = (0 - 1, 0 - 0, 3 - 0) = (-1, 0, 3). \]

Вычислим векторное произведение \( \mathbf{AB} \times \mathbf{AC} \):

\[ \mathbf{AB} \times \mathbf{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 \cdot 3 - 0 \cdot 0) - \hat{j}(-1 \cdot 3 - 0 \cdot (-1)) + \hat{k}(-1 \cdot 0 - (-1) \cdot 1). \]

Получаем:

\[ \mathbf{AB} \times \mathbf{AC} = \hat{i} \cdot 3 + \hat{j} \cdot 3 + \hat{k} \cdot 1. \]

Модуль этого вектора:

\[ |\mathbf{AB} \times \mathbf{AC}| = \sqrt{3^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{19}. \]

Площадь треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{19}. \]

Шаг 6. Итоговое вычисление циркуляции

Теперь мы можем вычислить циркуляцию, зная, что ротор имеет только компоненту по \( z \)-оси и поток через поверхность равен просто площади треугольника:

\[ \oint_{\partial S} \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S \nabla \times \mathbf{a} \cdot d\mathbf{S} = \hat{k} \cdot \hat{k} \cdot S = 1 \cdot S = \frac{\sqrt{19}}{2}. \]

Ответ: \( \frac{\sqrt{19}}{2} \).