Начально-краевуя задача для уравнения колебаний струны

Условие:

Решить

Решение:

Это задание относится к предмету математика, более конкретно к разделу уравнения математической физики и к теме уравнений в частных производных. Задание формулирует начально-краевую задачу для уравнения колебаний струны: \[ u_{tt} = 81u_{xx} \] с начальными условиями: \[ u(x,0) = 27\sin(3\pi x) + 13\sin(14\pi x), \] \[ u_t(x,0) = 0, \] и граничными условиями: \[ u(0,t) = u(4,t) = 0. \] Для решения этой задачи можно использовать метод разделения переменных. Суть метода заключается в том, чтобы представить искомое решение в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от переменной \( x \), а вторая только от переменной \( t \): \[ u(x,t) = X(x)T(t). \] Подставим это представление в исходное уравнение и разделим по переменным: \[ X(x)T''(t) = 81X''(x)T(t). \] Разделим обе части уравнения на \( X(x)T(t) \) (при условии, что \( X(x) \) и \( T(t) \) не равны нулю): \[ \frac{T''(t)}{81T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)}. \] Так как левая часть зависит только от \( t \), а правая только от \( x \), каждая из частей уравнения должна быть равна одной и той же константе, которую обычно обозначают как \(-\lambda\): \[ \frac{T''(t)}{81T(t)} = -\lambda, \] \[ \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda. \] Это приводит нас к двум обычным дифференциальным уравнениям: \[ T''(t) + 81\lambda T(t) = 0, \] \[ X''(x) + \lambda X(x) = 0. \] Нам также нужно применить граничные условия к функции \( X(x) \), чтобы найти возможные значения \(\lambda\), а начальные условия к функции \( T(t) \) для определения констант в решении. Граничные условия приводят к следующему уравнению для \( X(x) \): \[ X(0) = X(4) = 0. \] Решениями этого уравнения будут функции вида \( X_n(x) = \sin\left(\frac{n\pi x}{4}\right) \), где \( n \) — положительное целое число. Это значит, что \( \lambda = \left(\frac{n\pi}{4}\right)^2 \). Теперь рассмотрим \( T(t) \). Уравнение для \( T(t) \) принимает вид: \[ T''(t) + 81\left(\frac{n\pi}{4}\right)^2 T(t) = 0. \] Общее решение этого уравнения вида \( T_n(t) = A_n\cos(\omega_nt) + B_n\sin(\omega_nt) \), где \( \omega_n = 9 \frac{n\pi}{4} \), в соответствии с начальным условием \( u_t(x,0) = 0 \), приводит к тому, что \( B_n = 0 \). Теперь, когда мы определили форму функций \( X(x) \) и \( T(t) \), мы можем написать решение как сумму продуктов соответствующих функций: \[ u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n\sin\left(\frac{n\pi x}{4}\right)\cos\left(9 \frac{n\pi t}{4}\right). \] Коэффициенты \( A_n \) находим из начального условия \( u(x,0) = 27\sin(3\pi x) + 13\sin(14\pi x) \), сравнивая с общим решением при \( t = 0 \): \[ 27\sin(3\pi x) + 13\sin(14\pi x) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n\sin\left(\frac{n\pi x}{4}\right). \] Таким образом, необходимо подобрать коэффициенты \( A_n \) таким образом, чтобы выполнилось это равенство. Видно, что необходимо, чтобы \( n \) принимало значения, кратные 3 и 14, чтобы соответствовать терминам в начальных условиях. Например, \( A_3 = 27 \) и \( A_{14} = 13 \), а все остальные \( A_n = 0 \). Таким образом, итоговое решение: \[ u(x,t) = 27\sin\left(\frac{3\pi x}{4}\right)\cos\left(\frac{27\pi t}{4}\right) + 13\sin\left(\frac{14\pi x}{4}\right)\cos\left(\frac{126\pi t}{4}\right). \] Это решение удовлетворяет начальным и граничным условиям задачи.