Методом Даламбера найти решение задачи Коши

На изображении представлено математическое задание, которое относится к высшей математике и, более конкретно, к разделу дифференциальные уравнения. Задано дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и начальными условиями (задача Коши).

Указано, что нужно использовать метод Даламбера для нахождения решения этой задачи Коши. Давайте попробуем решить задачу:

Задано дифференциальное уравнение: \( y'' - 9y = 0 \)

И начальные условия: \( y(0) = e^{-9x^2}, \) \( y'(0) = \frac{1}{1 + x^2} \)

Метод Даламбера (также известный как метод особого решения) для линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами состоит из следующих шагов.

1. Найти характеристическое уравнение, подставив \( y = e^{rx} \) в дифференциальное уравнение: \( r^2 e^{rx} - 9e^{rx} = 0 \) Упрощаем, вынося \( e^{rx} \) за скобку (поскольку оно не равно нулю): \( e^{rx}(r^2 - 9) = 0 \) Характеристическое уравнение имеет вид: \( r^2 - 9 = 0 \) Найдем корни этого уравнения: \( r^2 = 9 \) \( r = \pm 3 \)
2. Найдем общее решение исходного уравнения, используя полученные корни: Если корни характеристического уравнения различные и вещественные, как в данном случае, то общее решение дифференциального уравнения имеет вид: \( y(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-3x} \) где \(C_1\) и \(C_2\) — константы, которые определяются из начальных условий.
3. Используем начальные условия для нахождения констант \(C_1\) и \(C_2\): Подставим \(x = 0\) в общее решение: \( y(0) = C_1 e^{0} + C_2 e^{0} = C_1 + C_2 \) Используя начальное условие \( y(0) = e^{-9x^2} \) при \( x = 0 \), получаем: \( C_1 + C_2 = e^{0} = 1 \) Теперь возьмем производную от общего решения и также подставим начальные условия: \( y'(x) = 3C_1 e^{3x} - 3C_2 e^{-3x} \) \( y'(0) = 3C_1 e^{0} - 3C_2 e^{0} = 3C_1 - 3C_2 \) Используя начальное условие \( y'(0) = \frac{1}{1 + x^2} \) при \( x = 0 \), получаем: \( 3C_1 - 3C_2 = 1 \) Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными: \( C_1 + C_2 = 1 \) \( 3C_1 - 3C_2 = 1 \) Решив эту систему уравнений, можно найти значения констант \(C_1\) и \(C_2\). Решение системы: \( C_1 + C_2 = 1 \) \( 3C_1 - 3C_2 = 1 \) Умножим первое уравнение на 3 и вычтем из него второе: \( 3C_1 + 3C_2 - (3C_1 - 3C_2) = 3 - 1 \) \( 6C_2 = 2 \) \( C_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \) Теперь, зная \(C_2\), найдем \(C_1\): \( C_1 + \frac{1}{3} = 1 \) \( C_1 = 1 - \frac{1}{3} \) \( C_1 = \frac{2}{3} \) Таким образом, константы \(C_1 = \frac{2}{3}\) и \(C_2 = \frac{1}{3}\), а решение исходной задачи Коши: \( y(x) = \frac{2}{3} e^{3x} + \frac{1}{3} e^{-3x} \) Это решение полностью удовлетворяет начальным условиям задачи.