Математическое моделирования и анализа теплопроводности

Данное задание относится к дифференциальным уравнениям в частных производных и математической физике, что относится к разделу математического моделирования и анализа теплопроводности (уравнение теплопроводности) или механики (упругость). Уравнение: \[ u_t = 4 u_{xx} + 5 e^{-64t} \sin(4x) \] похоже на однородное уравнение теплопроводности с правой частью, представляющей источник тепла, который изменяется с координатами и временем.

Условие задачи:

1. \( u(x,t) = 0 \) для всех \( x \in [0, \pi] \);
2. Граничные условия \( u(0,t) = u(\pi,t) = 0 \);
3. Основное уравнение: \( u_t = 4 u_{xx} + 5 e^{-64t} \sin(4x) \).

Цель:

Решить это краевое и задачу на собственные значения (если требуется).

Шаг 1: Разложение решения с помощью метода разделения переменных

Чтобы решить задачу, попробуем сначала найти решение однородного уравнения (без источника тепла), а затем добавим решение для неоднородности. Предполагаем решение в виде разложения в ряд Фурье:

\[ u(x,t) = X(x)T(t), \]

тогда подставим его в исходное уравнение. Имеем:

\[ T'(t) X(x) = 4 T(t) X''(x) + 5 e^{-64t}\sin(4x). \]

Шаг 2: Рассмотрение однородного уравнения без источника

Сначала решим однородное уравнение:

\[ T'(t) X(x) = 4 T(t) X''(x). \]

Разделим переменные:

\[ \frac{T'(t)}{T(t)} = 4 \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda, \]

где \( \lambda \) — разделяющая константа. Получаем две независимые дифференциальные уравнения:

1. Для \( T(t) \):

   \[ T'(t) = -\lambda T(t), \]

   решение этого уравнения:

   \[ T(t) = C e^{-\lambda t}, \]

   где \( C \) — константа интегрирования.
2. Для \( X(x) \):

   \[ X''(x) + \frac{\lambda}{4} X(x) = 0. \]

   Это обыкновенное второе дифференциальное уравнение с решением:

   \[ X(x) = A \sin \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{2} x \right) + B \cos \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{2} x \right). \]

Используя граничные условия \( u(0,t) = 0 \) и \( u(\pi,t) = 0 \), получаем \( B = 0 \) и определённые значения \( \lambda = 16n^2 \), где \( n \) — целое число. Это приводит к решениям вида:

\[ X_n(x) = \sin(4nx), \]

а общее решение для однородной задачи:

\[ u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} C_n e^{-16n^2t} \sin(4nx). \]

Шаг 3: Учёт правой части (неоднородного уравнения)

Теперь нужно учесть правую часть в основном уравнении \( 5 e^{-64t} \sin(4x) \). Чтобы это сделать, найдем частное решение для неоднородного уравнения. Заметим, что правая часть уже имеет вид функции Фурье. Пусть частное решение имеет вид:

\[ u_p(x, t) = A(t) \sin(4x). \]

Подставляем это в исходное уравнение:

\[ A'(t) \sin(4x) = 4 A(t) (-16) \sin(4x) + 5 e^{-64 t} \sin(4x). \]

Сокращаем на \( \sin(4x) \) и решаем дифференциальное уравнение для \( A(t) \):

\[ A'(t) = -64 A(t) + 5 e^{-64t}. \]

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка с переменными коэффициентами. Решим его с помощью метода вариации постоянных или неопределённого интегрирования:

Общее решение имеет вид:

\[ A(t) = C e^{-64t} + \text{частное решение}, \]

где частное решение находим путем подстановки:

\[ A(t) = \frac{5}{128} e^{-64t}. \]

Таким образом, частное решение:

\[ u_p(x, t) = \frac{5}{128} e^{-64t} \sin(4x). \]

Шаг 4: Общее решение задачи

Теперь общее решение задачи будет состоять из решения однородной и частной частей:

\[ u(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty} C_n e^{-16n^2 t} \sin(4nx) + \frac{5}{128} e^{-64t} \sin(4x). \]

Где \( C_n \) — константы, определяемые из начальных условий (если они даны).