Линейное однородное уравнение первого порядка и начальное условие

Это математическое задание относится к предмету "высшая математика", а именно к разделу "уравнения в частных производных".

На изображении представлено линейное однородное уравнение первого порядка и начальное условие.

Исходное уравнение: \[ x \frac{\partial u}{\partial x} + t \frac{\partial u}{\partial t} = 2u \]

И начальное условие: \[ u(1, t) = 3t \]

Для решения данного задания используют метод характеристик.

Уравнение характеристик для данного уравнения в частных производных будет состоять из следующих дифференциальных уравнений:

1. \(\frac{dx}{ds} = x\)
2. \(\frac{dt}{ds} = t\)
3. \(\frac{du}{ds} = 2u\)

Решаем их:

1. Отношение \(\frac{dx}{ds} = x\) можно проинтегрировать: \[\frac{dx}{x} = ds\] \[\ln|x| = s + C_1\] \[x = e^{s+C_1}\] \[x = e^{C_1}e^s\] Поскольку \(C_1\) произвольная константа, мы можем заменить \(e^{C_1}\) на другую константу \(C\) (она будет представлять начальное значение \(x\)): \[x = Ce^s\]
2. Аналогично, решим \(\frac{dt}{ds} = t\): \[\frac{dt}{t} = ds\] \[\ln|t| = s + C_2\] \[t = e^{s + C_2}\] \[t = e^{C_2}e^s\] Снова, заменим \(e^{C_2}\) на константу \(D\): \[t = De^s\]
3. Теперь решим \(\frac{du}{ds} = 2u\): \[\frac{du}{u} = 2ds\] \[\ln|u| = 2s + C_3\] \[u = e^{2s + C_3}\] \(u = e^{C_3}e^{2s}\) Заменим \(e^{C_3}\) на константу \(E\): \[u = Ee^{2s}\]

Теперь используем начальное условие \(u(1, t) = 3t\), чтобы найти связь между \(C\) и \(D\). Подставляем \(x = 1\) в первое начальное уравнение и получаем \(C = e^{-s}\), отсюда \(D = t e^{-s}\). Из \(u = Ee^{2s}\) при \(x = 1\), получим \(u = 3t\), откуда \(E = 3t e^{-2s}\).

Затем выразим \(s\) через \(x\) и \(t\), используя \(x = Ce^s\) и \(t = De^s\): \[e^s = \frac{x}{C}\] \[e^s = \frac{t}{D}\] Подставляем значение \(s\) в выражение для \(u\): \[u = 3t e^{-2s} = 3t \left(\frac{C}{x}\right)^2\] Так как \(CD = t\), мы можем выразить константы \(C\) и \(D\) через \(x\) и \(t\), и упростить выражение для \(u\): \[u(x,t) = 3t\frac{C^2}{x^2} = 3t\frac{t^2}{x^2} = 3\frac{t^3}{x^2}\]

Итак, решение уравнения в частных производных с данным начальным условием: \[ u(x,t) = 3\frac{t^3}{x^2} \]