Классификация дифференциальных уравнений в частных производных и их приведение к каноническому виду

Предмет: Дифференциальные уравнения

Раздел предмета: Классификация дифференциальных уравнений в частных производных и их приведение к каноническому виду

Задание: Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.

Дано уравнение:

\[ x^2 u_{xx} - 4y^2 u_{yy} = 0. \]

Решение:

Шаг 1: Определение типа уравнения

Рассмотрим общее дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных:

\[ A(x, y) u_{xx} + 2B(x, y) u_{xy} + C(x, y) u_{yy} + \ldots = 0. \]

Где:

\[ A = x^2, \]

\[ B = 0, \]

\[ C = -4y^2. \]

Для классификации уравнения нужно найти дискриминант:

\[ D = B^2 - AC. \]

Подставим значения:

\[ D = 0^2 - (x^2)(-4y^2) = 4x^2 y^2. \]

Дискриминант \( D = 4x^2 y^2 \) всегда положителен для любых ненулевых \( x \) и \( y \).

Вывод:

Поскольку дискриминант положителен \( (D > 0) \), уравнение является гиперболическим.

Шаг 2: Приведение уравнения к каноническому виду

Для приведения уравнения к каноническому виду, мы проведем замену переменных. Рассмотрим замену вида:

\[ \xi = \phi(x, y), \]

\[ \eta = \psi(x, y). \]

Выберем преобразование:

\[ \xi = \frac{x^2}{2}, \]

\[ \eta = \frac{4y^2}{2}. \]

Это означает:

\[ d\xi = x \, dx, \]

\[ d\eta = 4y \, dy. \]

Теперь выразим частные производные через новые переменные:

\[ \frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial \xi}{\partial x} \frac{\partial}{\partial \xi} + \frac{\partial \eta}{\partial x} \frac{\partial}{\partial \eta}, \]

\[ \frac{\partial}{\partial y} = \frac{\partial \xi}{\partial y} \frac{\partial}{\partial \xi} + \frac{\partial \eta}{\partial y} \frac{\partial}{\partial \eta}. \]

Для второго порядка:

\[ u_{xx} = \frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} ( \frac{\partial \xi}{\partial x})^2, \]

\[ u_{yy} = \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} (\frac{\partial \eta}{\partial y})^2. \]

Подставим наши преобразования:

\[ u_{xx} = \frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} x^2, \]

\[ u_{yy} = \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} (4y)^2. \]

Теперь применим их к уравнению:

\[ x^2 \frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} x^2 - 4y^2 \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} (4y)^2 = 0. \]

\[ x^4 \frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} - 16y^4 \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} = 0. \]

Разделим на \( x^4 \) и \( y^4 \):

\[ \frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} - \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} = 0. \]

Каноническая форма:

\[ \frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} - \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} = 0. \]

Это уравнение Лапласа в канонической форме для гиперболических уравнений. Таким образом, мы определили, что уравнение - гиперболическое и привели его к каноническому виду:

\[ \frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} - \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} = 0. \]