Дифференциальные уравнения в частных производных (уравнение колебаний струны)

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальные уравнения в частных производных (уравнение колебаний струны)

Дана смешанная задача для одномерного волнового уравнения:

 \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, 

с начальными и граничными условиями:

 u(x,0) = x^2, \quad \frac{\partial u(x,0)}{\partial t} = 0, 

 u(0,t) = 0, \quad u\left(\frac{\pi}{2}, t\right) = 0. 

Метод решения

Для решения данной задачи применяется метод разделения переменных.
Предположим, что решение имеет вид:

 u(x,t) = X(x)T(t). 

Подставляя в исходное уравнение:

 X(x) T''(t) = X''(x) T(t). 

Разделяя переменные:

 \frac{T''(t)}{T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda. 

Рассматриваем два уравнения:

1. Для пространственной части:

    X''(x) + \lambda X(x) = 0. 

   С граничными условиями:

    X(0) = 0, \quad X\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0. 

2. Для временной части:

    T''(t) + \lambda T(t) = 0. 

Решая уравнение для ( X(x) ), получаем:

 X_n(x) = C_n \sin\left(\frac{2n x}{\pi}\right), \quad \lambda_n = \left(\frac{2n}{\pi}\right)^2. 

Решение для временной функции:

 T_n(t) = A_n \cos\left(\frac{2n t}{\pi}\right) + B_n \sin\left(\frac{2n t}{\pi}\right). 

Общее решение представляется в виде ряда Фурье:

 u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} C_n \cos\left(\frac{2n t}{\pi}\right) \sin\left(\frac{2n x}{\pi}\right). 

Используя начальные условия ( u(x,0) = x^2 ), разлагаем ( x^2 ) в ряд Фурье по синусам.
Коэффициенты ( C_n ) находятся по формуле:

 C_n = \frac{2}{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 \sin\left(\frac{2n x}{\pi}\right) dx. 

После вычислений получаем окончательное представление решения в виде ряда Фурье.

Вывод

Решение данной задачи представляет собой сумму гармонических колебаний, удовлетворяющих начальному распределению ( x^2 ) и граничным условиям.