Составьте уравнение прямой, перепендикулярной данному вектору и проходящей через точку пересечения данных прямых

Предмет: аналитическая геометрия

Раздел: уравнения прямых и перпендикулярность векторов

Постановка задачи:

Дано:

• Вектор нормали \( \mathbf{n} = (-4; -5) \)
• Прямые: \( 3x + y - 10 = 0 \) и \( 2x + y - 6 = 0 \)

Нужно составить уравнение прямой, которая перпендикулярна вектору \( \mathbf{n} \) и проходит через точку пересечения данных прямых.

Шаг 1. Найдем точку пересечения данных прямых.

Для начала нужно найти координаты точки пересечения двух прямых:

• \( 3x + y - 10 = 0 \)
• \( 2x + y - 6 = 0 \)

Решим эту систему методом вычитания:

1. Вычтем уравнение второй прямой из уравнения первой: \[ (3x + y) - (2x + y) = 10 - 6, \] \[ 3x - 2x + y - y = 4, \] \[ x = 4. \]
2. Подставим \( x = 4 \) в одно из уравнений (например, в первое): \[ 3(4) + y = 10, \] \[ 12 + y = 10, \] \[ y = 10 - 12 = -2. \]

Тогда точка пересечения данных прямых: \( P(4, -2) \).

Шаг 2. Найдем уравнение прямой, перпендикулярной вектору \( \mathbf{n} = (-4; -5) \).

Прямая, перпендикулярная вектору \( \mathbf{n} = (-4; -5) \), будет иметь направляющий вектор, совпадающий с \( \mathbf{n} = (-4; -5) \).

Известно, что уравнение прямой в общем виде можно записать как:

где \( A \) и \( B \) — это компоненты направляющего вектора.

Так как наша прямая перпендикулярна вектору \( \mathbf{n} = (-4; -5) \), можно взять этот вектор для задания прямой. Подставляем:

• \( A = -4 \)
• \( B = -5 \)
• \( (x_0, y_0) = (4, -2) \) (это точка, через которую проходит наша прямая).

Уравнение прямой примет вид:

Раскроем скобки:

Ответ:

Итак, уравнение прямой, перпендикулярной вектору \( \mathbf{n} = (-4; -5) \) и проходящей через точку пересечения данных прямых, имеет вид: