Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Решите систему линейных алгебраических уравнений тремя способами: по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса.
Условие:
Решите систему линейных алгебраических уравнений тремя способами: по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса.
Решение:
Задача из области: Алгебра, Раздел — Системы линейных алгебраических уравнений
Дана система линейных алгебраических уравнений:
\[ \begin{cases} x + 4y + 2z = 8 \\ 3x - y - z = 12 \\ x + 6z = -8 \end{cases} \]Решим эту систему тремя методами: по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса.
1. Решение по формулам Крамера
Для системы:
\[ \begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \end{cases} \]мы можем воспользоваться формулами Крамера:
\[ x = \frac{\Delta_x}{\Delta}, \quad y = \frac{\Delta_y}{\Delta}, \quad z = \frac{\Delta_z}{\Delta} \]где:
- \(\Delta\) — определитель основной матрицы коэффициентов.
- \(\Delta_x\), \(\Delta_y\), \(\Delta_z\) — определители матриц, полученных заменой столбцов по формулам Крамера на столбец свободных членов.
Шаг 1: Записываем матрицу коэффициентов и вектор свободных членов:
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 3 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & 6 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 8 \\ 12 \\ -8 \end{pmatrix} \]Шаг 2: Определитель основной матрицы \( \Delta \):
\[ \Delta = \begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 3 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & 6 \end{vmatrix} \]Рассчитаем по правилу треугольников:
\[ \Delta = 1 \cdot \left| \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 0 & 6 \end{vmatrix} \right| - 4 \cdot \left| \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 6 \end{vmatrix} \right| + 2 \cdot \left| \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \right| \] \[ \Delta = 1 \cdot (-1 \cdot 6 - (-1 \cdot 0)) - 4 \cdot (3 \cdot 6 - (-1 \cdot 1)) + 2 \cdot (3 \cdot 0 - (-1 \cdot 1)) \] \[ \Delta = 1 \cdot (-6) - 4 \cdot (18 + 1) + 2 \cdot 1 = -6 - 4 \cdot 19 + 2 = -6 - 76 + 2 = -80 \]Шаг 3: Найдем детерминанты \( \Delta_x \), \( \Delta_y \), \( \Delta_z \):
\[ \Delta_x = \begin{vmatrix} 8 & 4 & 2 \\ 12 & -1 & -1 \\ -8 & 0 & 6 \end{vmatrix}, \quad \Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 8 & 2 \\ 3 & 12 & -1 \\ 1 & -8 & 6 \end{vmatrix}, \quad \Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 4 & 8 \\ 3 & -1 & 12 \\ 1 & 0 & -8 \end{vmatrix} \]Выполним вычисления, аналогичные предыдущим, по тому же правилу Лапласа. Для \( \Delta_x \):
\[ \Delta_x = 8 \cdot (-1 \cdot 6) - 4 \cdot (12 \cdot 6 + 8) + 2 \cdot (-80) \]Подставить в систему для получения результатов.
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку