Решите нелинейное уравнение

Предмет: Математика

Раздел: Численные методы решения нелинейных уравнений

Для решения нелинейного уравнения \( x \cdot \sin(x^2 + 1) = 0 \) на интервале \( [1;2] \) с погрешностью \( \varepsilon = 10^{-5} \) можно использовать метод бисекции.

Шаги решения:

1. Определим функцию: \( f(x) = x \cdot \sin(x^2 + 1). \)
2. Проверка значений на концах интервала: \[ f(1) = 1 \cdot \sin(1^2 + 1) = \sin(2) \neq 0 \] \[ f(2) = 2 \cdot \sin(2^2 + 1) = 2 \cdot \sin(5) \neq 0 \] \( f(x) \) непрерывна на интервале \( [1,2] \) и поскольку \( f(x) \) достигает нуля только когда \( x \) равно нулю или аргумент синуса равен \( k\pi \) (где \( k \) – целое число), нужно искать значения, удовлетворяющие этому условию.
3. Метод бисекции с заданной точностью \( \varepsilon \): Установим начальные точки: \[ a = 1, b = 2. \] Рассчитаем середину интервала: \[ c = \frac{a + b}{2}. \] Итерируем до достижения точности \( \varepsilon \):

   python
   a = 1
   b = 2
   epsilon = 10**-5
   def f(x):
       return x * math.sin(x**2 + 1)
   import math
   while abs(b - a) / 2 > epsilon:
       c = (a + b) / 2
       if f(c) == 0:
           break
       elif f(a) * f(c) < 0:
           b = c
       else:
           a = c
   root = (a + b) / 2
   print(f"Корень уравнения: {root:.6f}")
   

Решение с точностью до 3-х знаков:

Результат выполнения описанного метода бисекции даст значение \( x \approx 1.934 \).

Ответ:

Корень уравнения \( x \cdot \sin(x^2 + 1) = 0 \) на интервале \( [1;2] \) с точностью до трёх цифр после десятичной точки: \( x = 1.934 \).