Решить уравнение 10^(x-1)=x

Предмет: Математика

Раздел: Уравнения, экспоненциальные уравнения

Задача: Решить уравнение \( 10^{(x-1)} = x \).

Необходимо выяснить, на каких отрезках возможно наличие хотя бы одного корня.

Подробное решение:

1. Преобразуем уравнение: \( 10^{(x-1)} = x \). Это уравнение экспоненциального вида, где левая часть растёт довольно быстро, так как функция экспоненты растёт быстрее большинства алгебраических функций. Правая часть – это линейная функция \( x \).
2. Для поиска корней такого уравнения аналитически, необходимо исследовать графики функций \( y = 10^{(x-1)} \) и \( y = x \), и определить возможные точки пересечения.
3. Возьмём несколько значений \( x \):
   • При \( x = 1 \): \( 10^{(1-1)} = 10^0 = 1 \), и \( x = 1 \). Это одно решение уравнения.
   • При \( x = 0 \): \( 10^{(0-1)} = 10^{-1} = 0.1 \), и \( x = 0 \). Это не является решением.
   • При \( x = 2 \): \( 10^{(2-1)} = 10^1 = 10 \), и \( x = 2 \). Это не решение, так как 10 и 2 не равны.
4. Так как это экспоненциальная функция и имеет достаточно стремительный рост, то видно, что пересечение будет одно.
5. Теперь проанализируем интервалы:
   • На отрезке \( [-2; -1] \) решений нет, так как экспоненциальная функция принимает исключительно положительные значения, а правая часть принимает отрицательные значения.
   • На отрезке \( [0; 5] \), как мы видим из подстановок, одно решение находится в точке \( x = 1 \).

Ответ: Минимально один корень уравнение имеет на отрезке \( [0; 5] \).

Правильный вариант ответа: 4).