Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Решить систему уравнений методом Крамера
Условие:
Решить систему уравнений методом Крамера.
Решение:
Это задание по математике, а точнее из раздела линейной алгебры, посвящённое решению систем линейных уравнений с помощью метода Крамера.
Метод Крамера использует определители матриц для нахождения решений системы уравнений. Для этого нужно:
- Записать матрицу коэффициентов \( \mathbf{A} \) системы уравнений.
- Вычислить определитель \( \Delta \) этой матрицы.
- Построить дополнительные матрицы \( \mathbf{A}_x \), \( \mathbf{A}_y \), \( \mathbf{A}_z \) путём замены соответствующих столбцов матрицы \( \mathbf{A} \) на вектор свободных членов.
- Вычислить определители \( \Delta_x \), \( \Delta_y \), \( \Delta_z \).
- Найти решения для \( x \), \( y \), \( z \).
1. Система уравнений:
\[ \begin{cases} x + y - z = 1 \\ 8x + 3y - 6z = 2 \\ 4x + y - 3z = 3 \end{cases} \]Запишем матрицу коэффициентов \( \mathbf{A} \):
\[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 8 & 3 & -6 \\ 4 & 1 & -3 \end{pmatrix} \]Вектор свободных членов \( \mathbf{B} \):
\[ \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \]2. Вычислим определитель \( \Delta \):
\[ \Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 8 & 3 & -6 \\ 4 & 1 & -3 \end{vmatrix} \]Рассчитаем его детерминант:
\[ \Delta = 1(3 \cdot -3 - 1 \cdot -6) - 1(8 \cdot -3 - 4 \cdot -6) + (-1)(8 \cdot 1 - 4 \cdot 3) \] \[ \Delta = 1(-9 + 6) - 1(-24 + 24) - 1(8 - 12) \] \[ \Delta = -3 - 0 + 4 \] \[ \Delta = 1 \]3. Построим матрицы \(\mathbf{A}_x\), \(\mathbf{A}_y\), \(\mathbf{A}_z\):
\[ \mathbf{A}_x = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & -6 \\ 3 & 1 & -3 \end{pmatrix} \] \[ \mathbf{A}_y = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 8 & 2 & -6 \\ 4 & 3 & -3 \end{pmatrix} \] \[ \mathbf{A}_z = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 8 & 3 & 2 \\ 4 & 1 & 3 \end{pmatrix} \]4. Вычислим определители \( \Delta_x \), \( \Delta_y \), \( \Delta_z \):
\[ \Delta_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & -6 \\ 3 & 1 & -3 \end{vmatrix} \] \[ \Delta_x = 1(3 \cdot -3 - 1 \cdot -6) - 1(2 \cdot -3 - 3 \cdot -6) + (-1)(2 \cdot 1 - 3 \cdot 3) \] \[ \Delta_x = 1(-9 + 6) - 1(-6 + 18) - (2 - 9) \] \[ \Delta_x = -3 - 12 - (-7) \] \[ \Delta_x = -3 - 12 + 7 \] \[ \Delta_x = -8 \]5. Переходим ко второму определителю:
\[ \Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 8 & 2 & -6 \\ 4 & 3 & -3 \end{vmatrix} \] \[ \Delta_y = 1(2 \cdot -3 - 3 \cdot -6) - 1(8 \cdot -3 - 4 \cdot -6) + (-1)(8 \cdot 3 - 4 \cdot 2) \] \[ \Delta_y = 1(-6 + 18) - 1(-24 + 24) - 1(24 - 8) \] \[ \Delta_y = 1 \cdot 12 - 0 - 16 \] \[ \Delta_y = 12 - 16 \] \[ \Delta_y = -4 \]6. И третий определитель:
\[ \Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 8 & 3 & 2 \\ 4 & 1 & 3 \end{vmatrix} \] \[ \Delta_z = 1(3 \cdot 3 - 1 \cdot 2) - 1(8 \cdot 3 - 4 \cdot 2) + 1(8 \cdot 1 - 4 \cdot 3) \] \[ \Delta_z = 1(9 - 2) - 1(24 - 8) + 1(8 - 12) \] \[ \Delta_z = 1 \cdot 7 - 1 \cdot 16 + 1 \cdot -4 \] \[ \Delta_z = 7 - 16 - 4 \] \[ \Delta_z = -13 \]7. Найдем значения переменных:
\[ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-8}{1} = -8 \] \[ y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-4}{1} = -4 \] \[ z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{-13}{1} = -13 \]Итак, решение системы уравнений методом Крамера дает следующий результат:
\[ x = -8, \quad y = -4, \quad z = -13 \]
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку