Решить систему линейных уравнений

Предмет: Математика (Линейная алгебра)

Раздел: Системы линейных уравнений

Задание 1.10 предлагает решить систему линейных уравнений: \[ \begin{cases} x_1 + 4x_2 - x_3 = 6, \\ 5x_2 + 4x_3 = -20, \\ 3x_1 - 2x_2 + 5x_3 = -22. \end{cases} \] Начнем решать систему методом подстановки или методом Крамера. Здесь я объясню решение пошагово.

1. Запишем систему уравнений еще раз для удобства: \[ \begin{cases} x_1 + 4x_2 - x_3 = 6, \quad \text{(1)} \\ 5x_2 + 4x_3 = -20, \quad \text{(2)} \\ 3x_1 - 2x_2 + 5x_3 = -22. \quad \text{(3)} \end{cases} \]

2. Выразим одну переменную из второго уравнения \((2)\): \[ 5x_2 + 4x_3 = -20. \] Выразим \(x_2\): \[ x_2 = \frac{-20 - 4x_3}{5}. \]

3. Теперь подставим выражение для \(x_2\) в первое уравнение \((1)\): \[ x_1 + 4x_2 - x_3 = 6, \] подставляем \(x_2 = \frac{-20 - 4x_3}{5}\): \[ x_1 + 4\left(\frac{-20 - 4x_3}{5}\right) - x_3 = 6. \] Упростим это уравнение: \[ x_1 + \frac{-80 - 16x_3}{5} - x_3 = 6. \] Домножим на 5, чтобы избавиться от знаменателя: \[ 5x_1 - 80 - 16x_3 - 5x_3 = 30. \] Приведем подобные: \[ 5x_1 - 21x_3 = 110. \] Получим: \[ x_1 = \frac{110 + 21x_3}{5}. \quad \text{(4)} \]

4. Подставим выражение для \(x_2 = \frac{-20-4x_3}{5}\) и выражение для \(x_1 = \frac{110 + 21x_3}{5}\) в третье уравнение \((3)\): \[ 3x_1 - 2x_2 + 5x_3 = -22, \] Подставляем: \[ 3\left( \frac{110 + 21x_3}{5} \right) - 2\left( \frac{-20 - 4x_3}{5} \right) + 5x_3 = -22. \] Упростим: \[ \frac{3(110 + 21x_3)}{5} + \frac{2(20 + 4x_3)}{5} + 5x_3 = -22. \] Домножим на 5: \[ 3(110 + 21x_3) + 2(20 + 4x_3) + 25x_3 = -110. \] Раскроем скобки: \[ 330 + 63x_3 + 40 + 8x_3 + 25x_3 = -110. \] Соберем подобные: \[ 330 + 40 + (63 + 8 + 25)x_3 = -110, \] \[ 370 + 96x_3 = -110. \] Отсюда: \[ 96x_3 = -110 - 370, \] \[ 96x_3 = -480. \] Найдем \(x_3\): \[ x_3 = \frac{-480}{96} = -5. \]

5. Теперь подставим \(x_3 = -5\) в выражения для \(x_2\) и \(x_1\): - Для \(x_2\): \[ x_2 = \frac{-20 - 4(-5)}{5} = \frac{-20 + 20}{5} = 0. \] - Для \(x_1\): \[ x_1 = \frac{110 + 21(-5)}{5} = \frac{110 - 105}{5} = \frac{5}{5} = 1. \]

6. Получаем решение системы: \[ x_1 = 1, \quad x_2 = 0, \quad x_3 = -5. \]

Ответ: \( x_1 = 1, x_2 = 0, x_3 = -5 \).