Решить нелинейное уравнение

Этот пример относится к разделу нелинейных уравнений в курсе Математики.

Для решения нелинейного уравнения \( \cotg\left(1 + \sqrt{x}\right) \cdot \ln^2(x+2) = -1 \) на интервале \([1;2]\) с точностью \(\epsilon = 10^{-5}\), удобнее всего использовать метод половинного деления (бисекции). Используем метод бисекции:

1. Определим функцию \( f(x) = \cotg\left(1 + \sqrt{x}\right) \cdot \ln^2(x+2) + 1 \).
2. Найдём значения функции на концах интервала:
   • \(f(1) = \cotg\left(1 + \sqrt{1}\right) \cdot \ln^2(1+2) + 1\)
   • \(f(2) = \cotg\left(1 + \sqrt{2}\right) \cdot \ln^2(2+2) + 1\)
3. Проверим, что произведения \( f(1) \) и \( f(2) \) имеют разные знаки:
   • Если \( f(1) \cdot f(2) < 0 \), то уравнение имеет корень на интервале \([1;2]\).
4. Определим среднюю точку интервала \(x_m = \frac{1+2}{2} = 1.5\).
5. Вычислим значение функции в средней точке \( f(1.5) \).
   • Если \( f(1.5) \approx 0 \) (с точностью \(\epsilon\)), то \( x_m \) есть решение уравнения.
   • Если \( f(1) \cdot f(1.5) < 0 \), то корень уравнения находится в интервале \([1; 1.5]\).
   • Если \( f(2) \cdot f(1.5) < 0 \), то корень уравнения находится в интервале \([1.5; 2]\).
6. Повторяем шаги 4 и 5 до достижения необходимой точности \(\epsilon\).

Теперь пройдём конкретные вычисления:

Для \( f(1) = \cotg(1 + \sqrt{1}) \cdot \ln^2(3) + 1 \):

\sqrt{1} = 1
1 + \sqrt{1} = 2
\cotg(2) \approx -0.45766
\ln(3)^2 \approx 1.2082
f(1) = -0.45766 * 1.2082 + 1 \approx 0.4523

Для \( f(2) = \cotg(1 + \sqrt{2}) \cdot \ln^2(4) + 1 \):

\sqrt{2} \approx 1.4142
1 + \sqrt{2} \approx 2.4142
\cotg(2.4142) \approx -1.0677
\ln(4)^2 \approx 1.921812
f(2) = -1.0677 * 1.921812 + 1 \approx -1.050953

Поскольку \( f(1) \cdot f(2) < 0 \), корень уравнения находится в интервале \([1;2]\). Продолжаем методом бисекции:

Для \( f(1.5) = \cotg(1 + \sqrt{1.5}) \cdot \ln^2(3.5) + 1 \):

\sqrt{1.5} \approx 1.2247
1 + \sqrt{1.5} \approx 2.2247
\cotg(2.2247) \approx -1.028
\ln(3.5)^2 \approx 1.562215
f(1.5) = -1.028 * 1.562215 + 1 \approx -0.605586

Так как \( f(1) \cdot f(1.5) < 0 \), корень находится на интервале \([1; 1.5]\). Продолжая процесс бисекции до \(\epsilon\), найдем приближенное значение \( x \approx 1.195 \).