Решить квадратного неравенства: Х²-4<0

Предмет: математика.

Раздел предмета: алгебра, тема неравенства.

Дана неравенство для решения: x^2 - 4 < 0

Для начала упростим неравенство. В данном случае воспользуемся тем, что x^2 - 4 можно представить как разность квадратов: x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)

Следовательно, неравенство примет вид: (x - 2)(x + 2) < 0

Теперь нам нужно найти промежутки, на которых произведение двух множителей меньше нуля. Рассмотрим корни уравнения (x - 2)(x + 2) = 0:

1. x - 2 = 0 \implies x = 2
2. x + 2 = 0 \implies x = -2

Эти корни разбивают числовую ось на три интервала: (-\infty, -2), (-2, 2), (2, \infty).

Теперь определим знак выражения (x - 2)(x + 2) на каждом из этих интервалов:

• Для интервала (-\infty, -2): Пусть x = -3. (x - 2)(x + 2) = (-3 - 2)(-3 + 2) = (-5)(-1) = 5 Знак положительный.
• Для интервала (-2, 2): Пусть x = 0. (x - 2)(x + 2) = (0 - 2)(0 + 2) = (-2)(2) = -4 Знак отрицательный.
• Для интервала (2, \infty): Пусть x = 3. (x - 2)(x + 2) = (3 - 2)(3 + 2) = (1)(5) = 5 Знак положительный.

Нас интересует тот промежуток, на котором неравенство менее нуля, то есть отрицательно. Это происходит на интервале (-2, 2).

Ответ: x \in (-2, 2).

Пожалуйста, если есть дополнительные вопросы по этому заданию или другому материалу, дайте знать!