Конечно! Давайте сначала определим предмет и раздел предмета, к которому относится это задание. Это задание относится к математике, а именно к теме неравенств и алгебраических выражений.
Проблема: \[ x^2 - 1 > 0 \]
Теперь давайте решим это неравенство шаг за шагом.
- Приведение неравенства к стандартной форме: Виданное выражение выше уже является приведенным к стандартной форме: \( x^2 - 1 > 0 \).
- Разложение на множители: Нам нужно разложить квадратное выражение на множители. В данном случае мы можем использовать формулу разложения разности квадратов: \[ x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1) \] Поэтому наше неравенство становится: \[ (x + 1)(x - 1) > 0 \]
- Определение нулевых точек: Найдём нулевые точки выражения: \[ x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1 \] \[ x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \] Эти точки делят числовую ось на три интервала: \((- \infty, -1)\), \((-1, 1)\), \((1, +\infty)\).
- Анализ знаков на интервалах: Теперь необходимо определить знак выражения на каждом из этих интервалов. Для этого возьмем тестовые точки из каждого интервала.
- Возьмем точку из интервала \((- \infty, -1)\), например, \(x = -2\): \[ (-2 + 1)(-2 - 1) = (-1)(-3) = 3 > 0 \]
- Возьмем точку из интервала \((-1, 1)\), например, \(x = 0\): \[ (0 + 1)(0 - 1) = (1)(-1) = -1 < 0 \]
- Возьмем точку из интервала \((1, +\infty)\), например, \(x = 2\): \[ (2 + 1)(2 - 1) = (3)(1) = 3 > 0 \]
- Запись решения: Из анализа выше видно, что выражение \((x + 1)(x - 1)\) положительно на интервалах \((- \infty, -1)\) и \((1, +\infty)\). Таким образом, решением неравенства \( x^2 - 1 > 0 \) является: \[ x \in (- \infty, -1) \cup (1, +\infty) \] Ответ: \(\boxed{x \in (- \infty, -1) \cup (1, +\infty)}\).