Решить квадратное неравенство: -3х²+5х+2>0

Это задание относится к предмету "Алгебра", разделу "Неравенства". Давайте решим данное квадратное неравенство.

Задано неравенство: -3x^2 + 5x + 2 > 0

Шаг 1: Приведение квадратного неравенства к стандартному виду

Для решения квадратных неравенств обычно приводят их к стандартному виду ax^2 + bx + c > 0 или ax^2 + bx + c < 0. В данном случае стандартный вид уже имеет место, но с отрицательным коэффициентом при x^2. Для удобства поменяем знаки: 3x^2 - 5x - 2 < 0

Шаг 2: Решение соответствующего квадратного уравнения

Решим уравнение, соответствующее границе неравенства: 3x^2 - 5x - 2 = 0

Для этого используем формулу для корней квадратного уравнения: x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Здесь a = 3, b = -5, c = -2. Подставляем значения: x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2)}}{2 \cdot 3}

x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{6}

x = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{6}

x = \frac{5 \pm 7}{6}

Получаем два корня: x_1 = \frac{5 + 7}{6} = 2 и x_2 = \frac{5 - 7}{6} = -\frac{1}{3}

Шаг 3: Определение знаков функции

Наши корни x = 2 и x = -\frac{1}{3} делят числовую ось на три интервала: (-\infty, -\frac{1}{3}), (-\frac{1}{3}, 2) и (2, \infty). Проверим знак функции 3x^2 - 5x - 2 на этих интервалах:

• Выберем точку в интервале (-\infty, -\frac{1}{3}), например, x = -1: 3(-1)^2 - 5(-1) - 2 = 3 + 5 - 2 = 6 > 0
• Выберем точку в интервале (-\frac{1}{3}, 2), например, x = 0: 3(0)^2 - 5(0) - 2 = -2 < 0
• Выберем точку в интервале (2, \infty), например, x = 3: 3(3)^2 - 5(3) - 2 = 27 - 15 - 2 = 10 > 0

Таким образом, функция 3x^2 - 5x - 2 отрицательна на интервале (-\frac{1}{3}, 2).

Шаг 4: Вывод

Неравенство 3x^2 - 5x - 2 < 0 выполняется на интервале: -\frac{1}{3} < x < 2

Это значит, что исходное неравенство -3x^2 + 5x + 2 > 0 выполняется также на интервале: -\frac{1}{3} < x < 2

Ответ: -\frac{1}{3} < x < 2