Решить квадратное неравенство: 2х²-13х+20>0

Это задание из раздела "Алгебра" предмета "Математика".

Тема данного задания — решение квадратного неравенства.

Шаг 1: Найдём корни квадратного уравнения, соответствующего данному неравенству.

Рассмотрим уравнение: \[2х^2 - 13х + 20 = 0\]

Для нахождения корней воспользуемся формулой дискриминанта: \[D = b^2 - 4ac\]

Где: \(a = 2\) (коэффициент при \(x^2\)), \(b = -13\) (коэффициент при \(x\)), \(c = 20\) (свободный член).

Подставим значения в формулу: \[D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 20\]

\[D = 169 - 80\]

\[D = 89\]

Шаг 2: Найдём корни уравнения, используя формулу: \[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим значения: \[x_{1,2} = \frac{13 \pm \sqrt{89}}{4}\]

Таким образом, корни уравнения: \[x_1 = \frac{13 + \sqrt{89}}{4}\] и \[x_2 = \frac{13 - \sqrt{89}}{4}\]

Шаг 3: Разобьём числовую ось на интервалы с найденными корнями. Это будут интервалы: \((-\infty, \frac{13 - \sqrt{89}}{4})\), \((\frac{13 - \sqrt{89}}{4}, \frac{13 + \sqrt{89}}{4})\), \((\frac{13 + \sqrt{89}}{4}, +\infty)\).

Шаг 4: Определим знак квадратного выражения \(2х^2 - 13х + 20\) на каждом из интервалов.

Для этого достаточно подставить в выражение любое значение \(x\) из каждого интервала. Находим функцию: \[f(x) = 2x^2 - 13x + 20\]

Подставляем тестовые точки:

1. Для интервала \((-\infty, \frac{13 - \sqrt{89}}{4})\): Пусть \(x = 0\): \[f(0) = 2(0)^2 - 13(0) + 20 = 20 > 0\] Здесь знак положительный.
2. Для интервала \((\frac{13 - \sqrt{89}}{4}, \frac{13 + \sqrt{89}}{4})\): Пусть \(x = 2\): \[f(2) = 2(2)^2 - 13(2) + 20 = 8 - 26 + 20 = 2 > 0\] Здесь знак положительный.
3. Для интервала \((\frac{13 + \sqrt{89}}{4}, +\infty)\): Пусть \(x = 5\): \[f(5) = 2(5)^2 - 13(5) + 20 = 50 - 65 + 20 = 5 > 0\] Здесь знак положительный.

Следовательно, квадратное выражение \(2х^2 - 13х + 20\) положительно на всех трех интервалах.

Итак, неравенство \(2х^2 - 13х + 20 > 0\) выполняется для всех \(x\), за исключением корней \(\frac{13 \pm \sqrt{89}}{4}\).

Записываем ответ: \[x \in (-\infty, \frac{13 - \sqrt{89}}{4}) \cup (\frac{13 - \sqrt{89}}{4}, \frac{13 + \sqrt{89}}{4}) \cup (\frac{13 + \sqrt{89}}{4}, +\infty)\]

Таким образом, неравенство выполняется на объединении данных интервалов.