Решение уравнений

Данное задание относится к предмету математика, раздел "Решение уравнений".

Для решения уравнения \(5^x \cdot 16^{\frac{x-1}{x}} = 100\) следуем следующим шагам:

1. Преобразуем \(16^{\frac{x-1}{x}}\): \[ 16 = 2^4 \Rightarrow 16^{\frac{x-1}{x}} = (2^4)^{\frac{x-1}{x}} = 2^{4\left(\frac{x-1}{x}\right)} = 2^{4\cdot\frac{x-1}{x}} = 2^{4\left(1 - \frac{1}{x}\right)} \]
2. Подставим это выражение обратно в уравнение: \[ 5^x \cdot 2^{4\left(1 - \frac{1}{x}\right)} = 100 \]
3. Представим 100 как произведение степеней: \[ 100 = 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2 \]
4. Перепишем уравнение, чтобы получить его в одинаковом основании: \[ 5^x \cdot 2^{4\left(1 - \frac{1}{x}\right)} = 2^2 \cdot 5^2 \]
   Теперь, у нас есть уравнение с двумя основаниями \(2\) и \(5\): \[ 5^x \cdot 2^{4 - \frac{4}{x}} = 2^2 \cdot 5^2 \]
5. Так как у нас основания одинаковы, можно приравнять степени:
   • Для основания \(5\): \[ x = 2 \]
   • Для основания \(2\): \[ 4 - \frac{4}{x} = 2 \] \[ 4 - 2 = \frac{4}{x} \] \[ 2 = \frac{4}{x} \]
     Умножим обе стороны на \(x\): \[ 2x = 4 \Rightarrow x = 2 \]
6. Таким образом, \(x = 2\) удовлетворяет обоим условиям. Ответ: \(x = 2\).