Решение уравнение, содержащие логарифмы и степени

Этот пример относится к математике, в частности к разделу алгебры, где рассматриваются уравнения, содержащие логарифмы и степени.

Для решения уравнения (x - 5)^{\log(5x - 25)} = 2, используем несколько шагов и свойств логарифмов и степеней. Подробно разберёмся в процессе:

Шаг 1: Упростим выражение под логарифмом

Понимаем, что 5x - 25 можно записать как 5(x - 5):

\log(5x - 25) = \log(5(x - 5)) = \log 5 + \log(x - 5)

Шаг 2: Перепишем исходное уравнение

Подставим разложенное значение логарифма в исходное уравнение:

(x - 5)^{\log 5 + \log(x - 5)} = 2

Шаг 3: Применим свойства степеней

Используем свойство степеней:

a^{b+c} = a^b \cdot a^c

Применим это свойство:

(x - 5)^{\log 5 + \log(x - 5)} = (x - 5)^{\log 5} \cdot (x - 5)^{\log(x - 5)} и упростим:

(x - 5)^{\log 5} \cdot (x - 5)^{\log(x - 5)} = 2

Шаг 4: Укажем область определения

Логарифмическое выражение требует, чтобы аргумент логарифма был положительным:

5x - 25 > 0 \Rightarrow x > 5

Шаг 5: Введем замену

Рассмотрим замену t = x - 5. Тогда уравнение примет вид:

t^{\log 5 + \log t} = 2

Шаг 6: Упростим уравнение

Теперь уравнение можно записать как:

t^{\log 5} \cdot t^{\log t} = 2 или, упростив еще:

t^{\log 5 + \log t} = 2 \Rightarrow t^{\log 5 + \log t} = 2

Шаг 7: Логарифмируем уравнение

Логарифмируем обе части (по основанию 10 или e):

\log(t^{\log 5 + \log t}) = \log 2

По правилу логарифмов:

(\log 5 + \log t) \cdot \log t = \log 2

Шаг 8: Упростим уравнение

Пусть y = \log t. Тогда уравнение становится:

(\log 5 + y) \cdot y = \log 2

Раскроем скобки:

\log 5 \cdot y + y^2 = \log 2

Шаг 9: Решим квадратное уравнение

Решим уравнение через квадратное уравнение ay^2 + by + c = 0:

y^2 + (\log 5) \cdot y - \log 2 = 0

Где a = 1, b = \log 5, c = -\log 2. Найдём дискриминант:

D = (\log 5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-\log 2) = (\log 5)^2 + 4\log 2

Шаг 10: Найдём корни

Корни уравнения:

y = \frac{-\log 5 \pm \sqrt{(\log 5)^2 + 4 \log 2}}{2}

Шаг 11: Обратим замену

Мы нашли \log t = y. Тогда, решая t = 10^y, найдём t = x - 5.

Шаг 12: Проверка и ответ

Посчитаем численно и проверим найденные y -> найдём:

t = 10^y \Rightarrow x = t + 5

Обязательно проверить, чтобы корни удовлетворяли исходному неравенству x > 5.

Таким образом решение уравнения требует применения логарифмических свойств и алгебраических преобразований.