Решение системы уравнений с использованием правила Крамера. Найти определители матриц

Данное задание относится к предмету "Линейная алгебра", а конкретный раздел — "Решение систем линейных уравнений"

Для решения системы уравнений с использованием правила Крамера нам нужно найти определители матриц. Система уравнений: \[ \begin{cases} 2x + 3y - z = 0 \\ x - 2y + 4z = 9 \\ y + z = 2 \end{cases} \]

Для применения правила Крамера нам нужно найти определитель основной матрицы системы и определителей матриц, полученных заменой соответствующих столбцов на вектор правых частей. Основная матрица системы: \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \]

Определитель матрицы \( A \): \[ \Delta = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} \]

Для нахождения определителя \( \Delta \) применим правило Саррюса или метод разложения по строке (в данном случае разложение удобно делать по третьей строке): \[ \Delta = 2\begin{vmatrix} -2 & 4 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - 3\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \]

Рассчитаем: \[ \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (-2) \cdot 1 - 4 \cdot 1 = -2 - 4 = -6 \], \[ \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - 4 \cdot 0 = 1 \], \[ \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - (-2) \cdot 0 = 1 \]

Подставляем в выражение для \( \Delta \): \[ \Delta = 2 \cdot (-6) - 3 \cdot 1 - 1 \cdot 1 = -12 - 3 - 1 = -16 \]

Теперь находим определители матриц \( \Delta_x \), \( \Delta_y \), \( \Delta_z \). Матрица \( A_x \): \[ A_x = \begin{pmatrix} 0 & 3 & -1 \\ 9 & -2 & 4 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \]

Определитель \( \Delta_x \): \[ \Delta_x = \begin{vmatrix} 0 & 3 & -1 \\ 9 & -2 & 4 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} \]

Подумаем через разложение по первой строке: \[ \Delta_x = 0 - 3\begin{vmatrix} 9 & 4 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} -1 \begin{vmatrix} 9 & -2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \]

Рассчитаем определители матриц второго порядка: \[ \begin{vmatrix} 9 & 4 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 9 \cdot 1 - 4 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \], \[ \begin{vmatrix} 9 & -2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 9 \cdot 1 - (-2) \cdot 2 = 9 + 4 = 13 \]

Подставим в формулу: \[ \Delta_x = -3 \cdot 1 -1 \cdot 13 = -3 - 13 = -16 \]

Матрица \( A_y \): \[ A_y = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 1 & 9 & 4 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \]

Определитель \( \Delta_y \): \[ \Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 1 & 9 & 4 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} \]

Разложим по первой строке: \[ \Delta_y = 2\begin{vmatrix} 9 & 4 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - 0 + (-1) \begin{vmatrix} 1 & 9 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} \]

Рассчитаем определители матриц второго порядка: \[ \begin{vmatrix} 9 & 4 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 9 \cdot 1 - 4 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \], \[ \begin{vmatrix} 1 & 9 \\ 0 & 2 \end\vmatrix} = 1 \cdot 2 - 9 \cdot 0 = 2 \]

Подставим в формулу: \[ \Delta_y = 2 \cdot 1 -1 \cdot 2 = 2 - 2 = 0 \]

Матрица \( A_z \): \[ A_z = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 \\ 1 & -2 & 9 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \]

Определитель \( \Delta_z \): \[ \Delta_z = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 0 \\ 1 & -2 & 9 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} \]

Разложим по третьему столбцу: \[ \Delta_z = 0 - 9\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + 2\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} \]

Рассчитаем определители: \[ \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot 1 - 3 \cdot 0 = 2 \], \[ \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-2) - 3 \cdot 1 = -4 - 3 = -7 \]

Подставим в формулу: \[ \Delta_z = - 9 \cdot 2 + 2 \cdot (-7) = -18 - 14 = -32 \]

Теперь найдем \( x \), \( y \), и \( z \) по формуле Крамера: \[ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-16}{-16} = 1 \], \[ y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{0}{-16} = 0 \], \[ z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{-32}{-16} = 2 \]

Итак, система уравнений имеет следующее решение: \[ x = 1, \; y = 0, \; z = 2. \]