Решение рациональных неравенств: 2 / х+9 ≤ х / х -6

Конечно! Давайте сначала определим предмет и раздел предмета, к которому относится задание. Это задание связано с неравенствами, а именно с рациональными неравенствами. Тема — математика, раздел "Алгебра". Теперь перейдем к решению неравенства: \[ \frac{2}{x + 9} \leq \frac{x}{x - 6} \]

1. Приведем части неравенства к общему знаменателю: Общий знаменатель будет (x + 9)(x - 6). Преобразуем неравенство: \[ \frac{2}{x + 9} - \frac{x}{x - 6} \leq 0 \] \[ \frac{2(x - 6)}{(x + 9)(x - 6)} - \frac{x(x + 9)}{(x + 9)(x - 6)} \leq 0 \]

2. Объединим две дроби: \[ \frac{2(x - 6) - x(x + 9)}{(x + 9)(x - 6)} \leq 0 \] \[ \frac{2x - 12 - x^2 - 9x}{(x + 9)(x - 6)} \leq 0 \] \[ \frac{-x^2 - 7x - 12}{(x + 9)(x - 6)} \leq 0 \]

3. Расположим числитель в стандартной форме: \[ -x^2 - 7x - 12 \] Для удобства умножим на -1 обе части числителя и знаменателя (не забывая, что меняем знак неравенства): \[ \frac{x^2 + 7x + 12}{(x + 9)(x - 6)} \geq 0 \]

4. Найдем корни числителя: Решим уравнение \( x^2 + 7x + 12 = 0 \) через дискриминант \(D\): \[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 \] Найдем корни квадратного уравнения: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm 1}{2} \] Корни: \[ x_1 = \frac{-7 + 1}{2} = -3 \] \[ x_2 = \frac{-7 - 1}{2} = -4 \] Плюс, нам надо учитывать, где знаменатель становится нулем: \[ x + 9 = 0 \implies x = -9 \] \[ x - 6 = 0 \implies x = 6 \]

5. Рисуем числовую ось и отмечаем ключевые точки: Ключевые точки: -9, -4, -3, 6. Определим знаки на каждом из промежутков: - \( x < -9 \) - \( -9 < x < -4 \) - \( -4 < x < -3 \) - \( -3 < x < 6 \) - \( x > 6 \)

Изменение знака происходит в каждой из ключевых точек. Зональность функции на числовой оси можно определить путём подстановки тестовых чисел в интервалах. Размечаем знаки: - На \( (- \infty, -9) \): \( \frac{+}{+} = +\) - На \( (-9, -4) \): получаем \( -\) - На \( (-4, -3) \): получаем \( +\) - На \( (-3, 6) \): получаем \( -\) - На \( (6, + \infty) \): получаем \( +\)

6. Где выражение больше или равно нулю? \[ x^2 + 7x + 12 \geq 0 \] Выразим необходимые интервалы: \[ (-\infty, -9) \cup (-4, -3) \cup (6, + \infty) \]

7. Итоговое множество решений: \[ x \in (-\infty, -9) \cup (-4, -3] \cup (6, + \infty) \] Таким образом, это конечное решение вашего неравенства \( \frac{2}{x + 9} \leq \frac{x}{x - 6} \).