Это задание относится к предмету "Алгебра" и разделу "Неравенства".
Рассмотрим неравенство: \[ \frac{2x}{x-8} \leq 1 \]
Для решения этого неравенства выполним следующие шаги:
- Приведем неравенство к единому знаменателю: \[ \frac{2x}{x-8} \leq \frac{x-8}{x-8} \] Теперь имеем: \[ \frac{2x}{x-8} \leq \frac{x-8}{x-8} \]
- Так как у нас одинаковый знаменатель, можем сравнивать числители, но не забываем о том, что знаменатель не должен быть равен нулю (это условие существования дроби): \[ x - 8 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 8 \]
- Решим основное неравенство между числителями: \[ 2x \leq x - 8 \]
- Переносим все члены влево: \[ 2x - x \leq -8 \] Получаем: \[ x \leq -8 \]
- Учитываем область определения (x не равен 8): \[ x \in (-\infty, -8] \cup (-8; 8) \]
- На границе x = -8 неравенство выполняется: \[ 2(-8)/(-8-8) = -16 / -16 = 1 \]
Проанализируем знаки функции на интервалах. Выбираем значения для проверки внутри интервалов:
- Для \( x \in (-\infty, 8) \): Выберем точку x = 0: \[ f(0) = \frac{2 \cdot 0}{0 - 8} = 0 \] Значение \( 0 \leq 1 \) — выполняется.
Итак, окончательный ответ: \[ x \in (-\infty, 8) \]
Таким образом, решение неравенства: \[ x \in (-\infty, 8) \]