Решение рациональных неравенств: 1 / х-2 ≤6

Предмет: Математика

Раздел предмета: Алгебра (неравенства)

Дано неравенство: \[ \frac{1}{x - 2} \leq 6 \]

Решение

1. Перепишем неравенство: \[ \frac{1}{x - 2} \leq 6 \]
2. Приведем все к общему виду: \[ \frac{1}{x - 2} - 6 \leq 0 \]
3. Приведем левую сторону к одной дроби: \[ \frac{1 - 6(x - 2)}{x - 2} \leq 0 \] Упростим числитель: \[ 1 - 6x + 12 = 13 - 6x \] Тогда неравенство примет вид: \[ \frac{13 - 6x}{x - 2} \leq 0 \]
4. Определим точки, в которых числитель и знаменатель равны нулю:
   • Числитель равен нулю, когда \( 13 - 6x = 0 \). Решим это уравнение: \[ 13 - 6x = 0 \] \[ 6x = 13 \] \[ x = \frac{13}{6} \]
   • Знаменатель равен нулю, когда \( x - 2 = 0 \). \[ x = 2 \]
5. Найдем значение выражения в интервалах, которые образуют наши точки:
   • \( x < 2 \)
   • \( 2 < x < \frac{13}{6} \)
   • \( x > \frac{13}{6} \)
6. Построим числовую прямую и точки \( 2 \) и \( \frac{13}{6} \). Определим знаки выражения на каждом промежутке: \[ \begin{align*} 1. & \ x < 2 \quad \text{(знаменатель } x-2 \ \text{отрицателен)}\\ & \ \frac{13 - 6x}{x - 2} = \frac{\text{(положительное)}}{\text{(отрицательное)}} \rightarrow \text{отрицательное}\\ 2. & \ 2 < x < \frac{13}{6} \quad \text{(знаменатель } x-2 \ \text{положителен)}\\ & \ \frac{13 - 6x}{x - 2} = \frac{\text{(положительное - отрицательное (модуль более значительное = ближе к 2)))}{\text{положительный}} \rightarrow \text{положительное}\\ 3. \ & x>\frac{13}{6} \quad \text{(знаменатель } x-2 \ \text{положителен)}\\ & \ \frac{13 -... [точнеe>_<| [дробь]{отрицательное}}{\text{(положительное)}} \rightarrow \text{отрицательное} \end{align*} \]
7. Нам нужно неравенство меньше или равно нулю, значит: \[ x \in (-\infty, 2) \cup \left[ \frac{13}{6}, \infty \right) \]
8. Но важно проверить границы:
   • В точке \( x = 2 \) знаменатель обращается в 0, выражение не определено.
   • Значит решением будет: \[ x \in (-\infty, 2) \cup \left[\frac{13}{6}, \infty \right)\]
9. Итак, решением неравенства \(\frac{1}{x - 2} \leq 6\) является: \[ x \in (-\infty, 2) \cup \left[\frac{13}{6}, \infty \right) \]