Решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

Этот пример из курса математического анализа, раздела дифференциальных уравнений. Конкретно, это линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

Уравнение: \[ xy' - y = x \cdot \tan\left(\frac{x}{y}\right) \]

Рассмотрим условие: если \( y = x \cdot f(x) \), где \( f(x) \) — дифференцируемая функция. Тогда подставим: \[ y = x \cdot f(x) \] \[ y' = x \cdot f'(x) + f(x) \]

Подставим \( y \) и \( y' \) в уравнение: \[ x(x \cdot f'(x) + f(x)) - x \cdot f(x) = x \cdot \tan\left(\frac{x}{x \cdot f(x)}\right) \]

Сделаем упрощение: \[ x^2 \cdot f'(x) + x \cdot f(x) - x \cdot f(x) = x \cdot \tan\left(\frac{1}{f(x)}\right) \] \[ x^2 \cdot f'(x) = x \cdot \tan\left(\frac{1}{f(x)}\right) \] \[ x \cdot f'(x) = \tan\left(\frac{1}{f(x)}\right) \]

Теперь мы можем разделить переменные: \[ f'(x) = \frac{\tan\left(\frac{1}{f(x)}\right)}{x} \]

Пусть \( u = f(x) \), тогда \( du = f'(x) dx \): \[ \int \frac{x \, du}{\tan\left(\frac{1}{u}\right)} = \int dx \]

Интегрировать обе части:

Слева: \[ \int \frac{x \, du}{\tan\left(\frac{1}{u}\right)} \]

Справа: \[ \int dx = x + C \]

Полное решение этого интеграла может оказаться сложным и зависит от начальных условий или дополнительного символьного решения, поэтому основное направление решений до уровня может потребовать дальнейших специальных методов или численного подхода. В данном случае проще рассмотреть отдельные случаи и проанализировать их численно или с помощью компетентного математического пакета для получения конечного точного результата.