Решение квадратного неравенства: -х²+3х>0

Конечно, давайте разберём данное задание. Это уравнение относится к предмету "Алгебра", к разделу "Квадратные неравенства". Задано квадратное неравенство: -x^2 + 3x > 0.

Шаг 1: Упрощение неравенства

Для удобства исследуем его следующим образом: x^2 - 3x < 0

Шаг 2: Найдём корни квадратного уравнения

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения x^2 - 3x = 0:

x(x - 3) = 0

Таким образом, корни уравнения: x = 0 или x = 3

Шаг 3: Построим квадратное неравенство

Поделим числовую прямую на промежутки, соответственно найденным корням:

(-\infty, 0), (0, 3), (3, +\infty)

Неравенство x^2 - 3x < 0 принимает разные значения на этих промежутках. Проверим знаки на каждом из них.

Шаг 4: Проверка промежутков

1. На промежутке (-\infty, 0): Подставим любое значение из этого промежутка, например, x = -1:

(-1)^2 - 3(-1) = 1 + 3 = 4 (не удовлетворяет неравенству)

2. На промежутке (0, 3): Подставим любое значение, например, x = 1:

1^2 - 3(1) = 1 - 3 = -2 (удовлетворяет неравенству)

3. На промежутке (3, +\infty): Подставим любое значение, например, x = 4:

4^2 - 3(4) = 16 - 12 = 4 (не удовлетворяет неравенству)

Шаг 5: Запись решения

Таким образом, неравенство -x^2 + 3x > 0 выполняется на промежутке:

0 < x < 3

Ответ: \(\boxed{(0, 3)}\)

Обобщение: Неравенство имеет решение на интервале (0, 3).