Рассмотреть неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим для нескольких положительных чисел

Это задание по математике, а конкретно — по неравенствам. Мы рассмотрим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим для нескольких положительных чисел. Задано: $$ \frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}, $$ где \( a, b, c \) — положительные числа. Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (AM-GM неравенство) для положительных чисел \( a, b, c \) формулируется следующим образом: $$ \frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}. $$

Доказательство.

Для трёх положительных чисел \( a, b, c \):

1. AM-GM неравенство гласит, что среднее арифметическое не меньше среднего геометрического для любого набора положительных чисел. Среднее арифметическое трёх чисел \( a, b, c \) — это: $$ \frac{a + b + c}{3}. $$ Среднее геометрическое трёх чисел — это: $$ \sqrt[3]{abc}. $$
2. Чтобы доказать это неравенство, воспользуемся методом индукции, но для случая 3 чисел доказательство проще выполнить просто с использованием формулы AM-GM. Это неравенство выполняется для любого набора положительных чисел \( a, b, c \), и его можно доказать через неравенство Коши или разложив на простые случаи, но его смысл следующий: среднее арифметическое всегда больше или равно среднему геометрическому.

Равенство.

Равенство в этом неравенстве достигается в случае, если \( a = b = c \), то есть когда все числа одинаковы. Следовательно, формула будет верна. То есть, если \( a = b = c \), оба выражения будут равны между собой.