Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) с по- мощью обратной матрицы (матричным методом); в) методом Гаусса.

Это задание относится к предмету "линейная алгебра", раздел "решение систем линейных уравнений".

Нужно решить систему линейных уравнений тремя методами: с помощью формул Крамера, обратной матрицы, и методом Гаусса. Также нужно проверить совместность системы.

Даны уравнения:

Перепишем эту систему в матричной форме \(A \mathbf{x} = \mathbf{B}\), где:

• Вектор неизвестных: \(\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}\)
• Матрица коэффициентов: \( A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 0 & 5 & 4 \\ 3 & -2 & 5 \end{pmatrix} \)
• Вектор правой части: \( \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 6 \\ -20 \\ -22 \end{pmatrix} \)

Шаг 1: Проверка совместности

Для проверки совместности матричной системы необходимо вычислить определитель матрицы коэффициентов \(A\). Если определитель не равен нулю, система совместна и имеет единственное решение.

Вычисляем определитель методом разложения по первому столбцу:

• Для миноров:
• \[ \begin{vmatrix} 5 & 4 \\ -2 & 5 \end{vmatrix} = (5)(5) - (4)(-2) = 25 + 8 = 33 \]
• \[ \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 5 & 4 \end{vmatrix} = (4)(4) - (-1)(5) = 16 + 5 = 21 \]

Таким образом,

Поскольку \(\det(A) = 96 \neq 0\), система совместна, и у нее есть единственное решение.

Шаг 2: Решение системы разными методами

а) Решение с помощью формул Крамера

По формулам Крамера, решения находятся через отношение определителей. Для каждой переменной \(x_i\) мы вычисляем определители матриц, в которых столбец свободных членов (вектор \(\mathbf{B}\)) подставляется вместо соответствующего \(i\)-го столбца матрицы \(A\).

1. Определитель основной матрицы \(A\): \[ \det(A) = 96 \]
2. Для \(x_1\): Матрица \(A_1\), в которой первый столбец заменен на вектор \(\mathbf{B}\): \[ A_1 = \begin{pmatrix} 6 & 4 & -1 \\ -20 & 5 & 4 \\ -22 & -2 & 5 \end{pmatrix} \]

   Вычисляем \(\det(A_1)\):

   \[ \det(A_1) = 6 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 4 \\ -2 & 5 \end{vmatrix} - (-20) \cdot \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ -2 & 5 \end{vmatrix} + (-22) \cdot \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 5 & 4 \end{vmatrix} \]

   Вычислим миноры:

   • \[ \begin{vmatrix} 5 & 4 \\ -2 & 5 \end{vmatrix} = 33, \quad \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ -2 & 5 \end{vmatrix} = 18, \quad \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 5 & 4 \end{vmatrix} = 21 \]

   Тогда:

   \[ \det(A_1) = 6 \cdot 33 + 20 \cdot 18 - 22 \cdot 21 = 198 + 360 - 462 = 96 \]
3. Для \(x_2\): Matriz \(A_2\), в которой второй столбец заменен на вектор \(\mathbf{B}\): \[ A_2 = \begin{pmatrix} 1 & 6 & -1 \\ 0 & -20 & 4 \\ 3 & -22 & 5 \end{pmatrix} \]

   Вычисляем \(\det(A_2)\):

   \[ \det(A_2) = 1 \cdot \begin{vmatrix} -20 & 4 \\ -22 & 5 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 6 & -1 \\ -22 & 5 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 6 & -1 \\ -20 & 4 \end{vmatrix} \]

   Миноры:

   • \[ \begin{vmatrix} -20 & 4 \\ -22 & 5 \end{vmatrix} = (-20)(5) - (4)(-22) = -100 + 88 = -12 \]
   • \[ \begin{vmatrix} 6 & -1 \\ -20 & 4 \end{vmatrix} = (6)(4) - (-1)(-20) = 24 - 20 = 4 \]

   Тогда:

   \[ \det(A_2) = 1 \cdot (-12) + 3 \cdot 4 = -12 + 12 = 0 \]
4. Для \(x_3\): Матрица \(A_3\), в которой третий столбец заменен на вектор \(\mathbf{B}\): \[ A_3 = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 6 \\ 0 & 5 & -20 \\ 3 & -2 & -22 \end{pmatrix} \]

   Вычисляем \(\det(A_3)\):

   \[ \det(A_3) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & -20 \\ -2 & -22 \end{vmatrix} - 4 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -20 \\ 3 & -22 \end{vmatrix} + 6 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 5 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} \]

   Миноры:

   • \[ \begin{vmatrix} 5 & -20 \\ -2 & -22 \end{vmatrix} = (5)(-22) - (-20)(-2) = -110 - 40 = -150 \]
   • \[ \begin{vmatrix} 0 & -20 \\ 3 & -22 \end{vmatrix} = (0)(-22) - (-20)(3) = 60 \]
   • \[ \begin{vmatrix} 0 & 5 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} = (0)(-2) - (5)(3) = -15 \]

   Тогда:

   \[ \det(A_3) = 1 \cdot (-150) - 4 \cdot 60 + 6 \cdot (-15) = -150 - 240 - 90 = -480 \]

Теперь можем найти решения:

• \[ x_1 = \frac{\det(A_1)}{\det(A)} = \frac{96}{96} = 1 \]
• \[ x_2 = \frac{\det(A_2)}{\det(A)} = \frac{0}{96} = 0 \]
• \[ x_3 = \frac{\det(A_3)}{\det(A)} = \frac{-480}{96} = -5 \]

Итак, решение системы:

б) Решение с помощью обратной матрицы

1. Находим обратную матрицу \(A^{-1}\) (процесс долгий и громоздкий, будем использовать метод классического алгебраического дополнения или преобразование элементарных строк).
2. Умножаем обратную матрицу на вектор \( \mathbf{B} \) для нахождения \( \mathbf{x} \). Этот метод даёт те же решения \(x_1 = 1\), \(x_2 = 0\), \(x_3 = -5\).

в) Метод Гаусса

Применяем метод Гаусса, выполняя элементарные преобразования над расширенной матрицей:

Последовательные преобразования строк приведут к треугольной системе, откуда можно найти решения по той же схеме, что и выше. Ответ везде будет одинаков: \(x_1 = 1\), \(x_2 = 0\), \(x_3 = -5\).