Пользуясь неравенством Чебышева, оценить неравенство 0.5<X<1.5

Это задание относится к предмету "Теория вероятностей и математическая статистика", раздел "Неравенства для вероятностей случайных величин".

Дано:

• Математическое ожидание \( M(X) = 1 \)
• Среднеквадратическое отклонение \( \sigma(X) = 0.2 \)

Нам нужно оценить вероятность события \( 0.5 < X < 1.5 \) с помощью неравенства Чебышева.

Неравенство Чебышева утверждает, что для любой случайной величины \( X \) с математическим ожиданием \( \mu \) и дисперсией \( \sigma^2 \) верно:

\[ P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2} \]

где \( k > 0 \).

Начнем с преобразования заданного интервала \( 0.5 < X < 1.5 \).

1. Выразим данный интервал через отклонение от математического ожидания \( \mu \): \[ 0.5 < X < 1.5 \] \[ \Rightarrow 0.5 - 1 < X - 1 < 1.5 - 1 \] \[ \Rightarrow -0.5 < X - \mu < 0.5 \] где \( \mu = 1 \).
2. Теперь рассматриваем вероятность \( P( -0.5 < X - \mu < 0.5 ) \): \[ P( -0.5 < X - \mu < 0.5 ) = P( |X - \mu| < 0.5 ) \]
3. Применяем неравенство Чебышева. Для этого нам нужно выразить \( 0.5 \) в терминах \( \sigma \): \[ 0.5 = k\sigma \Rightarrow k = \frac{0.5}{\sigma} = \frac{0.5}{0.2} = 2.5 \]
4. По неравенству Чебышева: \[ P(|X - \mu| \geq 2.5\sigma) \leq \frac{1}{(2.5)^2} = \frac{1}{6.25} \approx 0.16 \]
5. Вероятность, что отклонение меньше 2.5 стандартных отклонений: \[ P(|X - \mu| < 2.5\sigma) = 1 - P(|X - \mu| \geq 2.5\sigma) \]
6. Подставляем полученное значение: \[ P(|X - \mu| < 0.5) = 1 - 0.16 = 0.84 \]

Таким образом, согласно неравенству Чебышева, вероятность того, что случайная величина \( X \) попадает в интервал \( 0.5 < X < 1.5 \), оценивается как не менее 0.84 (или 84%).