Пользуясь неравенством Чебышева, оценить неравенство 0.5<X<1.5

Это задание относится к предмету "Теория вероятностей и математическая статистика", раздел "Неравенства для вероятностей случайных величин".

Дано:

• Математическое ожидание $\text{(}M(X)=1\text{)}$
• Среднеквадратическое отклонение $\text{(}\sigma (X)=0.2\text{)}$

Нам нужно оценить вероятность события $\text{(}0.5<X<1.5\text{)}$ с помощью неравенства Чебышева.

Неравенство Чебышева утверждает, что для любой случайной величины $\text{(}X\text{)}$ с математическим ожиданием $\text{(}\mu \text{)}$ и дисперсией $\text{(}{\sigma }^2\text{)}$ верно:

$\text{[}P(|X-\mu |\ge k\sigma )\le \frac{1}{k^2}\text{]}$

где $\text{(}k>0\text{)}$.

Начнем с преобразования заданного интервала $\text{(}0.5<X<1.5\text{)}$.

1. Выразим данный интервал через отклонение от математического ожидания $\text{(}\mu \text{)}$: $\text{[}0.5<X<1.5\text{]}$ $\text{[}\Rightarrow 0.5-1<X-1<1.5-1\text{]}$ $\text{[}\Rightarrow -0.5<X-\mu <0.5\text{]}$ где $\text{(}\mu =1\text{)}$.
2. Теперь рассматриваем вероятность $\text{(}P(-0.5<X-\mu <0.5)\text{)}$: $\text{[}P(-0.5<X-\mu <0.5)=P(|X-\mu |<0.5)\text{]}$
3. Применяем неравенство Чебышева. Для этого нам нужно выразить $\text{(}0.5\text{)}$ в терминах $\text{(}\sigma \text{)}$: $\text{[}0.5=k\sigma \Rightarrow k=\frac{0.5}{\sigma }=\frac{0.5}{0.2}=2.5\text{]}$
4. По неравенству Чебышева: $\text{[}P(|X-\mu |\ge 2.5\sigma )\le \frac{1}{(2.5{)}^2}=\frac{1}{6.25}\approx 0.16\text{]}$
5. Вероятность, что отклонение меньше 2.5 стандартных отклонений: $\text{[}P(|X-\mu |<2.5\sigma )=1-P(|X-\mu |\ge 2.5\sigma )\text{]}$
6. Подставляем полученное значение: $\text{[}P(|X-\mu |<0.5)=1-0.16=0.84\text{]}$

Таким образом, согласно неравенству Чебышева, вероятность того, что случайная величина $\text{(}X\text{)}$ попадает в интервал $\text{(}0.5<X<1.5\text{)}$, оценивается как не менее 0.84 (или 84%).