Для случайной величины X, M(X)=1, σ(X)=0.2 . Пользуясь неравенством Чебышева, оценить неравенство 0.5
Это задание относится к предмету "Теория вероятностей и математическая статистика", раздел "Неравенства для вероятностей случайных величин".
Дано:
- Математическое ожидание \( M(X) = 1 \)
- Среднеквадратическое отклонение \( \sigma(X) = 0.2 \)
Нам нужно оценить вероятность события \( 0.5 < X < 1.5 \) с помощью неравенства Чебышева.
Неравенство Чебышева утверждает, что для любой случайной величины \( X \) с математическим ожиданием \( \mu \) и дисперсией \( \sigma^2 \) верно:
\[
P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}
\]
где \( k > 0 \).
Начнем с преобразования заданного интервала \( 0.5 < X < 1.5 \).
- Выразим данный интервал через отклонение от математического ожидания \( \mu \):
\[
0.5 < X < 1.5
\]
\[
\Rightarrow 0.5 - 1 < X - 1 < 1.5 - 1
\]
\[
\Rightarrow -0.5 < X - \mu < 0.5
\] где \( \mu = 1 \).
- Теперь рассматриваем вероятность \( P( -0.5 < X - \mu < 0.5 ) \):
\[
P( -0.5 < X - \mu < 0.5 ) = P( |X - \mu| < 0.5 )
\]
- Применяем неравенство Чебышева. Для этого нам нужно выразить \( 0.5 \) в терминах \( \sigma \):
\[
0.5 = k\sigma \Rightarrow k = \frac{0.5}{\sigma} = \frac{0.5}{0.2} = 2.5
\]
- По неравенству Чебышева:
\[
P(|X - \mu| \geq 2.5\sigma) \leq \frac{1}{(2.5)^2} = \frac{1}{6.25} \approx 0.16
\]
- Вероятность, что отклонение меньше 2.5 стандартных отклонений:
\[
P(|X - \mu| < 2.5\sigma) = 1 - P(|X - \mu| \geq 2.5\sigma)
\]
- Подставляем полученное значение:
\[
P(|X - \mu| < 0.5) = 1 - 0.16 = 0.84
\]
Таким образом, согласно неравенству Чебышева, вероятность того, что случайная величина \( X \) попадает в интервал \( 0.5 < X < 1.5 \), оценивается как не менее 0.84 (или 84%).