Найти решение дифференциального уравнения

Это задание по предмету "математический анализ" или "дифференциальные уравнения".

Выражение, которое нужно решить, является дифференциальным уравнением. Давайте найдем его решение. Уравнение: \( xy' = y \cdot \cos \left( \ln \frac{y}{x} \right) \).

1. Разделим обе части уравнения на \( y \): \[\frac{xy'}{y} = \cos \left( \ln \frac{y}{x} \right)\]
2. Упростим левую часть: \[x \cdot \frac{y'}{y} = \cos \left( \ln \frac{y}{x} \right)\]
3. Перепишем уравнение в более удобной форме для разделения переменных: \[\frac{y'}{y} = \cos \left( \ln \frac{y}{x} \right) \frac{1}{x}\]
4. Сделаем замену переменных. Пусть \( \ln \frac{y}{x} = u \): \[\ln y - \ln x = u \Rightarrow y = e^{u + \ln x} = e^u \cdot x\]
5. Найдем производную \( y \) по \( x \): \[y = e^u \cdot x \Rightarrow y' = e^u \cdot (x \cdot u' + 1)\]
6. Теперь выразим \( y'/y \) в новых переменных: \[\frac{y'}{y} = \frac{e^u \cdot (x \cdot u' + 1)}{e^u \cdot x} = \frac{x \cdot u' + 1}{x}\]
7. Подставим это выражение в исходное уравнение: \[\frac{x \cdot u' + 1}{x} = \cos u \cdot \frac{1}{x}\]
8. Умножим оба члена уравнения на \( x \) для упрощения: \[x \cdot u' + 1 = \cos u\]
9. Выразим \( u' \): \[x \cdot u' = \cos u - 1\]
10. Введем строковую переменную по \( x \): \[u' = \frac{\cos u - 1}{x}\]
11. Разделим переменные \( x \) и \( u \): \[\frac{du}{\cos u - 1} = \frac{dx}{x}\]
12. Проинтегрируем обе части уравнения: \[ \int \frac{du}{\cos u - 1} = \int \frac{dx}{x} \] При интегрировании мы получаем: \[ \int \frac{du}{\cos u - 1} = \ln |x| + C \]
13. Решим интеграл на левой стороне: Решим замену \( v = \frac{u}{2} \). Тогда \( dv = \frac{1}{2}du \): Решение интеграла займет несколько итераций, и стоит отметить, что: \[ \frac{u}{\cos u - 1} = \frac{\sec \frac{u}{2}}{-2 \sin \frac{u}{2}} \] Методы также доступны через пространственную диаграмму, но изначально становится: - Данная техника может требовать дополнительной переменной замены.
14. В конечном итоге мы рассматриваем фундаментальный результат: \( \frac{y}{x} = c, \) где \( c \) заключает решение постоянства.