Найти общее решение уравнения

Это задание относится к предмету "математика", раздел "дифференциальные уравнения".

Данное дифференциальное уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка. Запишем его в канонической форме: y'' - 10y' + 24y = 0.

Для решения этого уравнения мы ищем общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, что предполагает использование характеристического уравнения.

Шаги решения:

1. Составим характеристическое уравнение: Для уравнения вида y'' + ay' + by = 0, характеристическое уравнение имеет вид r^2 + ar + b = 0. В нашем случае характеристическое уравнение будет: r^2 - 10r + 24 = 0.
2. Решаем характеристическое уравнение: Используем формулу для решения квадратного уравнения ar^2 + br + c = 0: r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. Для нашего уравнения: r = \frac{10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{10 \pm 2}{2}. Таким образом, получаем два корня: r_1 = \frac{10 + 2}{2} = 6, \quad r_2 = \frac{10 - 2}{2} = 4.
3. Записываем общее решение: Так как оба значения корней характеристического уравнения r_1 и r_2 являются вещественными и различными, общее решение дифференциального уравнения имеет вид: y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}.

Подставим значения r_1 и r_2: y(x) = C_1 e^{6x} + C_2 e^{4x}, где C_1 и C_2 - произвольные постоянные.

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения y'' + 24y = 10y' равно: y(x) = C_1 e^{6x} + C_2 e^{4x}.