Найти длину хорды эллипса, которая проходит по направлению, делящему угол между осями пополам

Предмет: Аналитическая геометрия

Раздел: Кривые второго порядка (эллипсы, гиперболы, параболы)

Задача: Нам требуется найти длину хорды эллипса, которая проходит по направлению, делящему угол между осями пополам.

Уравнение эллипса задано как \( x^2 + 2y^2 = 18 \).

Шаги решения:

Шаг 1: Приведение уравнения эллипса к каноническому виду.

Изначальное уравнение эллипса: \[ \frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{9} = 1 \] Здесь видно, что полуоси эллипса:

• Большая полуось: \( a = \sqrt{18} \)
• Малая полуось: \( b = \sqrt{9} = 3 \)

Шаг 2: Уравнение прямой, делящей угол между осями пополам.

Прямая, которая делит угол между осями равномерно, имеет уравнение: \[ y = x \] (Это уравнение соответствует прямой, которая делит угол между осями \(Ox\) и \(Oy\) пополам, так как она образует одинаковые углы с осями.)

Шаг 3: Поиск точек пересечения этой хорды с эллипсом.

Подставим \( y = x \) в уравнение эллипса: \[ x^2 + 2y^2 = 18 \] \[ x^2 + 2x^2 = 18 \] \[ 3x^2 = 18 \] \[ x^2 = 6 \] \[ x = \pm \sqrt{6} \] Теперь \( y = x \), значит, \( y = \pm \sqrt{6} \). Следовательно, точки пересечения хорды с эллипсом имеют координаты \( (\sqrt{6}, \sqrt{6}) \) и \( (-\sqrt{6}, -\sqrt{6}) \).

Шаг 4: Нахождение длины хорды.

Теперь, чтобы найти длину хорды, вычислим расстояние между точками \( (\sqrt{6}, \sqrt{6}) \) и \( (-\sqrt{6}, -\sqrt{6}) \). Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками на плоскости: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Где:

• \( (x_1, y_1) = (\sqrt{6}, \sqrt{6}) \)
• \( (x_2, y_2) = (-\sqrt{6}, -\sqrt{6}) \)

Подставляем значения: \[ d = \sqrt{(\sqrt{6} - (-\sqrt{6}))^2 + (\sqrt{6} - (-\sqrt{6}))^2} \] \[ d = \sqrt{(2\sqrt{6})^2 + (2\sqrt{6})^2} \] \[ d = \sqrt{4 \cdot 6 + 4 \cdot 6} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \]

Ответ: \[ \boxed{4\sqrt{3}} \] Это и есть длина хорды эллипса.