Исследовать систему линейных уравнений на совместность и найти её общее решение

Этот тип задачи относится к предмету "Линейная алгебра", раздел "Системы линейных уравнений".

Нам нужно исследовать систему линейных уравнений на совместность и найти её общее решение. Дана система уравнений: \[ \begin{cases} 9x_1 - 3x_2 + 5x_3 + 6x_4 = 4 \\ 6x_1 - 2x_2 + 3x_3 + x_4 = 5 \\ 3x_1 - x_2 + 3x_3 + 14x_4 = -8 \end{cases} \] Сначала представим данную систему в матричной форме \(A \mathbf{x} = \mathbf{b}\), где: \[ A = \begin{pmatrix} 9 & -3 & 5 & 6 \\ 6 & -2 & 3 & 1 \\ 3 & -1 & 3 & 14 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -8 \end{pmatrix} \]

Прямой ход

Начнем с первого уравнения и будем делать преобразования для получения ступенчатой матрицы.

1. В первом уравнении \(9x_1 - 3x_2 + 5x_3 + 6x_4 = 4\) коэффициент при \(x_1\) уже отличный от нуля, поэтому оставляем его как есть.
2. Во втором уравнении \(6x_1 - 2x_2 + 3x_3 + x_4 = 5\) вычтем \(\frac{6}{9}\) от первого уравнения: \[ 6x_1 - 2x_2 + 3x_3 + x_4 - \left(\frac{6}{9}(9x_1 - 3x_2 + 5x_3 + 6x_4)\right) = 5 - \frac{6}{9} \cdot 4\] \[ \Rightarrow 6x_1 -2x_2 + 3x_3 + x_4 - 6x_1 + 2x_2 - \frac{30}{9}x_3 - 4x_4 = 5 - \frac{24}{9} \] \[ \Rightarrow 0x_1 + 0x_2 - \frac{3}{9}x_3 - 3x_4 = \frac{21}{3} \] \[ \Rightarrow -\frac{3}{9}x_3 - 3x_4 = \frac{21}{3}\] \[\Rightarrow -0,333x_3 - 3x_4 = 21\]
3. В третьем уравнении: \[ 3x_1 - x_2 + 3x_3 + 14x_4 - \left(\frac{3}{9}(9x_1 - 3x_2 + 5x_3 + 6x_4 )\right) = -8 - \left(\frac{3}{9} \cdot 4\right) \] \[ \Rightarrow 3x_1 -x_2 + 3x_3 + 14x_4 - 3x_1 + x_2 - \frac{5x_3} - 2x_4= -8 - \frac{12}{9} \] \[ \Rightarrow 3x_1 - x_2 + 3x_3 + 14x_4 - 3x_1 + x_2 - 15x3 - 2x_4 = 5 \] \[ \Rightarrow - 3x_4 =5 \]

Conclusion

So our system have a solution with the trivial solution.