Доказать неравенства

Предмет: Математика

Раздел: Логарифмы и неравенства

Задание заключается в доказательстве неравенства: \[ \log_2 5 + \log_5 2 < 3 \]

Пошаговое решение:

1. Пользуемся логарифмическим свойством обратных логарифмов:

Свойство логарифмов: \[ \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \]

Применяя это свойство к \( \log_5 2 \), получаем: \[ \log_5 2 = \frac{1}{\log_2 5} \]

2. Подставляем \( \frac{1}{\log_2 5} \) вместо \( \log_5 2 \) в исходное выражение: \[ \log_2 5 + \frac{1}{\log_2 5} < 3 \]
3. Пусть \( x = \log_2 5 \). Тогда наше неравенство преобразуется в следующее: \[ x + \frac{1}{x} < 3 \]
4. Теперь мы решаем это новое неравенство. Для этого умножим обе части на \( x \), чтобы избавиться от дроби: \[ x^2 + 1 < 3x \]
5. Переносим все члены влево, чтобы получить стандартное квадратное неравенство: \[ x^2 - 3x + 1 < 0 \]
6. Решаем квадратное уравнение \( x^2 - 3x + 1 = 0 \) через дискриминант:

Дискриминант \( D \): \[ D = (-3)^2 - 4 \times 1 \times 1 = 9 - 4 = 5 \]

Корни уравнения: \[ x_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \quad x_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \]

Приблизительные значения этих корней: \[ x_1 \approx 2.618, \quad x_2 \approx 0.382 \]

7. Так как \( x = \log_2 5 \), а значение \( \log_2 5 \approx 2.32 \), оно лежит между корнями \( x_2 \approx 0.382 \) и \( x_1 \approx 2.618 \).
8. Следовательно, \( x = \log_2 5 \) удовлетворяет неравенству \[ x^2 - 3x + 1 < 0 \]. Таким образом, исходное неравенство доказано: \[ \log_2 5 + \log_5 2 < 3 \]