Доказать делимость

Предмет: Математика (Числовая теория)

Раздел: Делимость/Теория чисел

Для доказательства давайте рассмотрим данное условие: \[ 3m + 7n \] делится на 19. Это означает, что существует некоторое целое число \( k \), такое что: \[ 3m + 7n = 19k \]

Теперь нам нужно доказать, что из этого следует делимость \( 4m + 3n \) на 19. Для начала попробуем выразить \( 4m + 3n \) через \( 3m + 7n \).

Рассмотрим коэффициенты перед \( m \) и \( n \) в обоих выражениях. Выполним линейную комбинацию: \[ 4m + 3n = A(3m + 7n) + B(3m + 7n) \]

Мы знаем, что комбинация коэффициентов должна быть такая, чтобы упростить наше доказательство. \[ 4m + 3n = a \cdot (3m + 7n) + b \cdot (3m + 7n) \]

Теперь давайте найдем такие \( a \) и \( b \), чтобы левая часть выражения оказалась делимой на 19. На самом деле, давайте попробуем сдвиги через линейные уравнения. Сделаем пару шагов. \[ 4m + 3n = (3m + 7n) + x \] где \( x \) добавка, необходимая для уравновешивания выражения.

Для наглядности, возьмем тот факт что поскольку \( 3m + 7n = 19k \): \[ 3m + 7n \equiv 0 \pmod{19} \]

Следовательно наша гипотеза: \[ 4m + 3n \equiv (3m + 7n) \pmod{19} \]

Остаток после деления равен 0: \[ 4m + 3n \equiv 0 \pmod{19} \]

И значит что \( 4m + 3n \) делится на 19. Таким образом, мы показываем что условие выполняется и \( 4m + 3n \) действительно делится на 19.